Hello, dear friend, you can consult us at any time if you have any questions, add WeChat: daixieit

MATH377: Financial and Actuarial Modelling in R

Tutorial 10

Exercise 1.  Use the upper and unbiased methods with a step of size 0.1 to find discretizations of a Lognormal distribution with parameters µ = − 1.5 and σ = 2 over the interval (0, 8). Plot the cdf of the discretizations against the original cdf.

Exercise 2.  Consider S = X1 + · · · + XN , where N is a random variable taking values 0, 1, 2, 3 with probabilities 0.3, 0.3, 0.1 and 0.2, respectively, and X is a random variable taking values 1, 2 and 4 with probabilities 0.2, 0.5 and 0.3, respectively.

b(a) Find the pf of the random sum S .

Exercise 3.  Let N be a Poisson distributed random variable with mean 5 and X a discrete random variable with pf fX (1) = fX (2) = fX (4) = 1/4 and fX (5) = fX (7) = fX (9) = 1/12. For the aggregate loss S = X1 + · · · + XN , use Panjer’s recursion to find the probabilities P(S = 8) and P(S = 25).

Exercise 4.  Let N be a discrete random variable with pf p0  = 0.5, p1  = 0.4, and p3  = 0.1, and X be a discrete random variable with pf fX (1) = 0.9 and fX (10) = 0.1.  Find P(S/E(S) > 3), where

S = X1 + · · · + XN .

Exercise  5.   Consider S  = X1  + · · · + XN  such that N is Poisson distributed with mean  10 and X ∼ Gamma(2, 1). Approximate the cdf of S by:

a)  Panjer’s recursion with a discretized Gamma distribution on (0, 22) with the unbiased method and a step of 0.5.

b)  Panjer’s recursion with a discretized Gamma distribution on (0, 22) with the upper method and a step of 0.5.

c)  Panjer’s recursion with a discretized Gamma distribution on (0, 22) with the lower method and a step of 0.5.

e) Normal approximation.

Plot the cdf’s above in a single graphic.

Exercise  6.   Consider a classical risk model with premium rate c = 2.99, individual loss amount distribution given by P(X = 1) = 0.2, P(X = 2) = 0.3 and P(X = 3) = 0.5, and Poisson rate λ = 1. Determine the adjustment coefficient.

Exercise 7.

a) Calculate the adjustment coefficient for a classical risk model with c = 3, λ = 4, and individual loss size with density

f(x) = e −2x + 3e −3x ,    x > 0 .

b) Find a bound for the ruin probability if u = 2.