Hello, dear friend, you can consult us at any time if you have any questions, add WeChat: daixieit

MATH377: Financial and Actuarial Modelling in R

Tutorial 9

Exercise 1. A stock is currently priced at 30. Over each of the next two 2-month periods, it is expected to increase by 8% or decrease by 10%.  The risk-free interest rate is 10% per annum with continuous compounding. What is the initial value of a 4-month derivative with strike K = 30 and that pays off X = max(S − K, 0), where ST  is the stock price in four months?

Exercise 2. A stock price is currently 40. In two months, it will either be 42 or 38, and during this period, the risk-free interest rate is 6% per annum with monthly compounding. If it rises to 42 in two months, then it will either be 48 or 40 after another two months.  If it drops to 38 after the first two months, then after another two months, it will either be 42 or 34.  The risk-free interest rate is 10%

calculate the initial value of a derivative that pays off  (max(44 − ST , 0))2, where ST  is the stock price in four months.

Exercise 3.  It is known that for any a ∈ R, the standard Brownian motion satisfies that W(t) > a with probability 1 for some t > 0. Note that in the lecture notes, we simulated a standard BM over a fixed time period T. In this exercise, we let the time vary, and we fix a threshold a > 0, then simulate a standard BM until it reaches the given threshold.  Write an R program to plot one trajectory of a standard Brownian motion until it reaches a = 1. Hint: Use a while loop to generate normal distributed increments until the condition is satisfied.

Exercise 4. Via simulations, approximate the probability that an arithmetic Brownian motion with drift 0.5 and volatility 0.1 is above 1 at time 2. Compare your result with the theoretical probability.

Exercise 5. Consider a European put option on a non-dividend-paying stock with current price is 40. The strike price is 38, the risk-free interest rate is 12% per annum with continuous compounding, the  volatility is 30% per annum, and the time to maturity is three months:

a) Find the price of the option using the BS formula.

c) Approximate the option’s price using a binomial model with 1000 steps.

Exercise 6.  A stock has current price S(0) = 1416. What is the value of an 8-month European call option on that stock with a strike price of 1450 if the volatility is 0.42 and the risk-free interest rate is 5% per annum with continuous compounding? Find the greeks for the corresponding option. Plot vega again the initial stock price S(0) ranging from 0.5 to 2000.