Hello, dear friend, you can consult us at any time if you have any questions, add WeChat: daixieit

Main Examination Period 19/20

ECOM032 ECONOMETRICS B

Question 1

Consider n independent and identically distributed observations Xi.  It is assumed that one of the two following hypotheses is true:  under H0, the common distribution of the Xi is a normal distribution with unknown mean µ0  and variance σ0(2), denoted N╱µ0 , σ0(2), while under H1  the observations are not normal but have ﬁnite moments up to order 6.  In what follows, θ = ╱µ, σ2|  with θ0 = ╱µ0 , σ0(2)| , and n

i=1

n

i=1

n

i=1

Consider a sequence  Ω of symmetric nonnegative 3 x3 matrices, (θ) = ( 1 (θ) , 2 (θ) , 3 (θ))|  and GMM  = arg min (θ)|  (θ)

θ

a)  Suppose that H0  is true.

i)  Show that the maximum likelihood estimator ML = ╱  2with  = ) Xi , 2 = ) (Xi - )2 ,

is the unique solution to the two equations 1 (θ) = 0, 2 (θ) = 0.

[4 marks]

ii)  Show that GMM  = ML  when =  ↓ 0(1)   1(0) ! 0   0

0(0) !

0 ! .

[6 marks]

b)  Suppose that H0  is true.

i)  Show that, under H0 ,  [ 3 (θ0 )] = 0.

[2 marks]

ii)  Show that ,n (θ0 ) converges in distribution to a normal variable with a mean and variance to be given. Brieﬂy recall why it implies that ,n ╱ GMM - θ0 ← converges in distribution to a normal with mean 0 and variance V (Ω) (do not attempt to give a closed form expression for V (Ω)).

[5 marks]

iii)  Compare the matrix V (Ω) with the inverse of the matrix I (θ0 )

deﬁned as follows

I (θ0 ) = 0 1 2σ4

.

[5 marks]

iv)  Describe two choices of GMM weight matrix  Ω   ensuring that V (Ω  ) = I (θ0 )|1  (do not attempt giving explict expressions of the proposed ).

[5 marks]

c) What are the relative merits of ML  and GMM  under H0?

[5 marks]

d)  Give the test statistic,  its null limit distribution  and the rejection region of the overidentiﬁcation test of H0  against H1  based on the moments (θ).

[8 marks]

e) Is the test in part (d) consistent against all the alternatives in H1?

[10 marks]

Question 2

You are interested in the impact of the time spent on education Zi  on the log wage wit  of individual i = 1, . . . , N over time t = 1, . . . , T. You observe also a 1 x 1 control variable Xit  which varies across i and t.  It is assumed that

wit = γ0Zi(|) + β0Xit + ui + εit ,          匝 [εit] = 0,   Var (εit) = σε(2) ,

Cov (εi, Xit) = Cov (εi, Zi) = 0,

for some centered random variable ui  possibly correlated with Zi  but not with Xit .

a) Why, in this setup, ui  be correlated with Zi?

[5 marks]

b) Show that γ0  and β0  are a solution to the system

┌(wit - γZi - βXit) Xi┐   =   0,

where Xi = ( Xit .

[5 marks]

c) Let (γ, β) = [ 1 (γ, β) , 2 (γ, β)]|  where 1 (γ, β)   = 2 (γ, β)   =

N     T ) ) (wit - γZi - βXit) Xit ,

i=1 t=1

N     T ) ) (wit - γZi - βXit) Xi .

i=1 t=1

Deﬁne the Generalised Method of Moments (GMM) estimator of γ0  and β0 based on the two moment conditions in Question b. Is it necessary to weight the moment conditions with a general weighting matrix Ω?

[10 marks]

d) Assume the Xit’s are iid and independent of the error terms. Compute the variance matrix of ,N (γ0 , β0 ). Why is this variance impor- tant?

[10 marks]

e) Compute the matrix =  ┌ 1 (γ,β)

∂γ 2 (γ,β)

∂γ 1 (γ,β)

∂β 2 (γ,β)

∂β

┐ .

Does this matrix depend upon γ and β?

[5 marks]

f) Deﬁne

G = - – 匝(匝) (Xi(X）￥T) 匝2(匝) .

Show that converges to G in probability when N diverges and T is ﬁxed, under some conditions to be stated.  Show that G has an inverse if T 2 2, Var (Xit) 0 and 匝 [ZiXit] 0. Interpret the condition 匝 [ZiXit] 0.

[8 marks]

g) Suppose T 2 2, Var (Xit) 0 and 匝 [ZiXit] 0.  What is the asymptotic distribution of the GMM estimator introduced in Question c when N diverges and T is ﬁxed?  Do not attempt to establish this limit distribution but use a result discussed in class.

[7 marks]