1. In  this  course,  we  often  encounter  the  computation  of integrals  such  as   04 t2 eS#at  and 4& t2 e  #S at. The following formula can be used to expedite the computation:

& t）eS# at =   ）    n!x本 eS4 ,  n = 0, 1, . . . .                                       (1.1)

4                           本=0 k!

Also note that the Gamma function is defined by

&

Γ(α) =        t尸S1 eS# at,   α > 0.

0

(a)  Prove (1.1) by induction principle.

(b) Using (1.1) to show Γ(n + 1) = n! for n = 0, 1, . . .. Therefore,

0                                                        4                                              k!

(c)  Consider a loss r.v. X ～ GAM(α, θ) with α = 3 and θ = 2 so that it has a pdf

(x/2)3 eS4←2

f(x) =       xΓ(3)      ,  x > 0.

Compute Var(X).

2. Assume a random loss X is subject to a normal distribution with mean µ, standard deviation σ, and pdf

f(x) =  exp ┌ -  ╱ 、2 ┐ .

Let φ(x) and Φ(x) respectively denote the pdf and the cdf of the standard normal distribution. Show the following

(a) VaR也 (X) = µ + σΦS1 (p);

φ ┌Φ S1 (p),

1 - p     .

3. Assume a random loss X has a Pareto distribution with scale parameter θ > 0, shape pa- rameter α > 1, and cdf F (x) = 1 - ╱ 、尸 , x > 0.  Find VaR也 (X) and TVaR也 (X) for p e (0, 1).