1    Background Theory

1.1    Convertible Bonds

You are asked to price a bond contract in which the holder has the option to choose between receiving the principle F or alternatively receiving R underlying stocks with price S at time t = T.  The contract can therefore be expressed as a function of the underlying stock price S and time t, assuming that risk free interest rates are constant and the default risk of the bond is negligible.  The terminal condition of such a contract is therefore given by

V (S, T) = max(F, RS)                                                                 (1) The issuer of the bond has also decided to pay out a continuous coupon at the rate of

K(t) = Ce −8t                                                                                                          (2)

for constants C and α of their choosing. This means that the holder of the bond contract will receive

Ce −8t dt

at each instant in time from the issuer.

Assume now that the risk-neutral process followed by underlying stock price is given by

dS = κ (θ(t) - S) dt + σSu dW.

(3)

(4)

Here κ is the mean reversion rate, β is the elasticity of variance in the market, and the function θ is given by

θ(t) = (1 + µ)Xeμt

where X and µ are constant model parameters that can be determined from the market, reflecting the dividend payout policy of the firm.

It is relatively straightforward to show that the market value V (S, t) of this contract satisfies the following

PDE

 + σ 2 S2u   + κ (θ(t) - S)  - rV + Ce −8t  = 0.                                  (5)

The boundary conditions of this problem are given as

 + κθ(t) - rV + Ce −8t  = 0,

and

V (S, t) = SA(t) + B(t)       as for some functions A and B to be derived.

at S = 0

S > -

(6)

(7)

1.2    Options embedded in the contract

In this section we consider the case where the firm issuing the bond contract looks to embed further American style options into the contract. The first addition they make to the contract is to enable the holder to exercise the decision to convert the bond in stock at any time before the maturity of the contract.  This results in an American style condition which gives the inequality

V < RS                                                                        (8)

for all t < T.

From this condition we can assume that for large enough S the bond holder will always choose to convert so that

V (S, t) > RS       as     S > -                                                          (9)

is the boundary condition for large S.

Call Option

If the bond has written in the contract that the issuer may buy back the bond at the price Cp  over some time period t < t0  then the value of the bond must satisfy the following condition

V (S, t) ● max(CP , RS)       if   t ● t0 .                                               (10)

For this condition to work we are assumming that the holder is allowed to choose to convert rather than be bought out.

Put Option

Another option often written in a bond contract is that the holder may have the option to sell the bond back to the issuer at the price Pp  over some time period t < t0 . Then in this case the value of the bond must satisfy the following condition

V (S, t) < Pp           if       t ● t0 .                                                      (11)

Default Barrier

Sometimes the bond holders are given an option to force the company to buy back the bond if the value of equity goes below some pre-specified level and the firm is at risk of bankruptcy. We assume here that they only have the option to force the sale at the price Kp  during some fixed time period t < t0 , and that the barrier B below which S must not go is written in the contract. In this case we find the value of the bond must satisfy the following condition

V (S, t) = Kp           if     S ● B   and   t ● t0 .                                            (12)

2    Tasks

2.1    European Options

· Include in your report a brief derivation of the boundary condition (7) for large S.  You will need to

find the functions A(t) and B(t) by solving the approximate problem

 + κ (X - S)  - rV + Ce −8t  = 0

assuming that the solution to this equation is of the form

V (S, t) = SA(t) + B(t).

(understanding 5 marks)

· Write code to calculate the value of the option V .  You must use the finite-difference method with

a Crank-Nicolson scheme, along with an appropriate method to solve the algebraic system.  You can derive an analytical result when β = 1 and κ = 0 to check that your code is working (this is left up to you to check), but do not include these results in your report. Write out the correct numerical scheme (i.e.  aj  =, bj  =, cj  = and dj  =), including at j = 0 and j = jMax, in your report.  Be careful to make your notation clear and understandable.

(coding 3 marks, understanding 5 marks )

Unless otherwise instructed, you should assume that the following standard values for the parameters apply:  T = 5, F = 91, R = 3, r = 0.006, κ = 0.05, µ = 0.0142, X = 32.55, C = 0.273, α = 0.03, β = 0.651 and σ = 0.757.

·  Plot out the value of the option V (S, t) as a function of the underlying asset price S (at t = 0) for the

following two cases:

1. β = 1, σ = 0.23, all other parameters as standard.

2. β = 0.651, σ = 0.757, all other parameters as standard.

Comment on the results in each case, can you explain how the change in parameters affects the results

and why? You may wish to present one more graph exploring different values of β and σ .                    (understanding 5 marks )

·  Assume now that S0  = 32.55, include in your report an accurate estimate for the option value V (S0 , t =

0) using the parameters outlined above with β = 0.651 and σ = 0.757. Explain how you obtained your result, how efficient it is, and also how accurate it is, by exploring the effect each of the different numerical parameters (iMax, jMax, Smax ) have on your solution. You may entend the method with higher order interpolations and Richardson extrapolation but the scheme should be Crank-Nicolson Finite Difference.

(originality  7 marks  )

2.2    American Options – embedded options

You may value this option with any technique you like, but it will effect your answer to the final question. Very briefly describe the numerical method that you have used (i.e.  state if you use explicit FD, Crank- Nicolson with PSOR, policy iteration or penalty method).

(Coding 2 marks)

Unless otherwise instructed, you should assume that the following standard values for the parameters apply: T = 5, F = 91, R = 3, r = 0.006, κ = 0.05, µ = 0.0142, X = 32.55, C = 0.273, α = 0.03, β = 0.651 and σ = 0.757. The bond contract you must value is an American style convertible bond with an embedded put option, which means that the holder can sell the bond back to the issuer at the price  Pp   =  110 if t < 1.5968.

·  Plot out the value of your American style bond contract as a function of asset price S, at t = 0 between

S = 0 and S = 2X, and mark on the graph any optimal decision points.

(understanding 5 marks )

·  Using finite difference approximations and by solving the American style option with different values

of C, plot out the value of partial differential

∂V

∂C

as a function of the underlying asset price S (at t = 0) between S = 0 and S = 2X. Does your result look reasonable, for instance, did you expect the value to be zero, positive, negative, large, small, continuous or discontinuous?                                                                               (understanding 5 marks )

· You are tasked with providing the most accurate value possible of  American style version of the

option using the parameters given above.  Assume that you are only given 1 second of computation time to return a value of the option at S0  = 32.55. State the most accurate value you can get in that time limit, how you verified it and any techniques used. Be careful to work around any discontinuities in the domain and explain how you did so.

(originality 8 marks)

3    Instructions

This assignment is the last assignment, and it will account for 50% of your final assessment for this module. Marks will be awarded as follows:

(i)  5% for working codes;

Grade       Description

0-50%

50%-70%

70%-100%

(ii)  5% for the presentation of your written report;

Grade       Description

0-50%

50%-70%

70%-100%

(iii)  25% for the understanding of the problems involved;

Grade       Description

0-50%

50%-70%

70%-100%

(iv)  15% for originality/initiative.