1.   (a) Use the method of Lagrange multipliers to find the maxima and minima of the function f(x,y,z) = x − 2y + z subject to the constraint x2 + y2 + z2  = 1.

(b)   (i) Find all the candidate points where the function f(x,y) = −x2 − y2 subject to the constraints x+y 6 4, x > − 1 and y > − 1 could attain its maximum and minimum values.

(ii) Give a graphical illustration that includes the feasible region, the points you found in part (b(i)), contours of the objective function f, and the direction of maximal increase.

(iii) Using the graphical illustration you produced in part (b(ii)) identify the points where the function attains its maximum and minimum values. Ex- plain.

2.   (a) Let

B = ✓    ◆✓  ◆✓  ◆ .

(i) Without doing any computations, identify the eigenvalues of B and give corresponding eigenvectors.

(ii) Are the eigenvectors you gave in part (a(i)) linearly independent? Explain without doing any calculations.

(iii) Describe geometrically the set of all eigenvectors that correspond to each of the eigenvalues. You could base your answer on a graphical illustration.

(b) Consider the symmetric matrix,

A =  0  @  0     2

 1

0  A .

(i) Find the eigenvalues and eigenvectors of A.

(ii) Orthogonally diagonalize the matrix A. The steps in your answer should be justified.

(iii) Let x 2 R3.  Write down the quadratic form Q(x) associated to the ma- trix A.  Use part (b(i)) to minimize and maximize Q(x), subject to the constraint ||x|| = 1. You should NOT use the method of Lagrange multi- pliers.

3.   (a) Evaluate the integral,

Z ZD ex4   dA,

over the (grey) region D shown below.

(b) Sketch the region,

R = {(x,y) 2 R2  | x 6 0, y > 0,  1 6 x2 + y2  6 4}. Use polar coordinates to calculate the integral,

Z ZR cos(x2 + y2) dxdy.

(c) Let U be the solid that lies above the xy-plane, below the plane z = x and between the cylinders x2 +y2  = 4 and x2 +y2  = 9. Use cylindrical coordinates to write a repeated integral which gives the volume of the solid U.  You do NOT have to evaluate the integral.

Section B

4.   (a)   (i) Place z = 1 − i on the complex plane and give the modulus and argument (it could be a negative angle) of z .

(ii) State De Moivre’s formula and use it to calculate (1 − i)3.  Express your answer in cartesian form.

(iii) Let

(x + y)+ i(x − y) = (1 − i)3 + i3 ( −2+ i), and find x and y .

(b)   (i) Find all the cube roots of −8 and express them in exponential form. Place the roots on the complex plane, clearly indicating the circle they lie on.

(ii) Let w = 2i. Multiply each of the roots you found in part (b(i)) by w and place the results on the complex plane from part (b(i)).

(c)   (i) Use Euler’s identity to show that

cos✓ =                .

(ii) Using the formula from (c(i)) and a similar formula that relates sin✓ to

ei✓, express cos4 ✓ sin2 ✓ in terms of multiple angles of cosine and sine.

5.   (a) Find the general solution for each of the following di↵erential equations:

(i) 3y + x = e (xx +3).

(ii) 2xy = x2 − y2. You may assume that all the quantities that occur in the calculations are positive and you may write the solution in implicit form.

(b) Let x > 0 and solve the following initial value problem,

dy

dx

with the initial condition y(1) = 1.