There are 5 questions and you should attempt them all. Each question carries equal credit.

1. Let C1  denote the circle x2 + y2  = 1 and consider the function

F (x, y) = x3 (y - 1)2 .

(a)  Suppose points are constrained to lie on C1 .  Find the coordinates of all the constrained stationary points of F and identify which, if any, are constrained maxima or minima.

(b)  Consider the region D that lies within C1  and also satisfies y > 0.  Find the maximum and minimum of F over the region D  (including its boundaries), and give the coordinates at which these values occur.

(c) Now let Cγ denote the circle x2 +y2  = γ 2 for some γ e R, and suppose points are constrained to lie on Cγ . Let (x* , y* ) denote the coordinates of the maximum value of F subject to this constraint.  By calculating these coordinates when γ is large, show that the ratio of x*   and y*   approaches a constant value α (independent of γ) as γ - o,

*

*

and determine α .

2.   (a) Find the solution of each of the following differential equations:

(i)

dy

dx

(ii)

dy       y

dx     x

(b)  Consider the following non-linear system of differential equations:

dx

= -(2x2 + 6y + 5)x.

dt

Write down an expression for dy/dx. Use the substitution u = x2 + 3y to deter- mine an implicit relationship between x(t) and y(t).  Sketch some trajectories on an x - u plane.  Hence show that, if y = 1 when x = 0, x(t) must remain bounded for all time by -a ≤ x(t) ≤ a for some a that you should determine.

3.  Consider the quadratic form

Q(α) =  ╱ -2x1(2) + 2x2(2) - 8x1 x3 - 8x2 x3、,

where α = (x1 , x2 , x3 ).

(a) Write down a symmetric matrix A such that Q = α尸 Aα where α = (x1 , x2 , x3 ), and determine its eigenvalues.   Hence, or otherwise, re-write Q in the form Q  =  ay 1(2)  + by2(2)  + cy3(2)   for some coefficients a,  b and c and new coordinates 』(α) = (y1 , y2 , y3 ).

(b)  Show that Q = 0 whenever α points in the direction of 0 , for some unit vector 0  that you should determine.

(c) If llαll = γ > 0, determine the maximum value Qmax  of Q(α) as a function of γ, and give any vector α for which this maximum is attained (i.e.  for which Q(α) = Qmax ).

(d) Let S denote the set of vectors α that satisfy both llαll = γ and Q(α) = Qmax . You have already found one element of S in part (c). Show that S contains more than one vector, and give the most general parameterisation for an element of S .

4.  Consider the following linear system of differential equations,

= 8x + 5y

dt

dy

for some function f (t).

(1)

(2)

(a) In the case f = 0, find the general solution and sketch some trajectories on the x - y plane, showing how solutions evolve over time.

(b)  Suppose now f (t) = -2 + 15t. Determine the solution in this case if x(0) = 0 and y(0) = 1.

(c)  Consider the related inhomogeneous 2nd-order ODE

d2 z         dz

dt2            dt

where z˙  = dz/dt.  By relating the original system of equations to this new 2nd-order equation, use your answer to part (b) to determine the solution z(t).

5.   (a)  Consider a unit half-sphere occupying the region (x2 +y2 +z2 )1/2  ≤ 1 and z > 0. A ‘dog-bowl’ shape is created by removing the conical region z > λ(x2 + y2 )1/2 , for some λ > 0.

(i)  Calculate the volume of this dog-bowl shape as a function of λ, leaving your answer in a form that does not involve any trigonometric functions.

(ii) For what value of λ is the volume of the dog-bowl shape the same as the volume of the conical section that was removed?

(b) Let A denote the semi-infinite strip described by x - 1 ≤ y ≤ x + 1 and x > 0. Consider the integral

xα (y - x)n

A  (1 + x)2α+2

where α > -1 is a real number and n is a positive integer.

(i) Use the transformation u = y - x to rewrite I as an integral over a semi- infinite rectangular domain. Hence show that I = 0 if n is an odd integer.

(ii) Assuming  n  is  an  even  integer,  use  another  substitution to  determine I(α, n) in terms of the beta function.

(iii) Relate your answer to the gamma function, and thus evaluate I(3/2, n) for even integers n, simplifying your answer as much as possible.