1. Let R be the region of 3-dimensional space defined by the inequalities

x2 + y2 + z2  < 1,    z > 0

Sketch the region R and find the maximum and minimum values of the function f(x, y, z) = xy - z

for points (x, y, z) in R.

(24 marks)

 

 

 

2. A particle travels in the complex plane. At time t, the particle’s position is given by

z(t) = (π - t)eit

(a)  Sketch the portion of the particle’s trajectory for 0 < t < π .

(b)  Let R be the region bounded by this portion of the trajectory and the x-axis. Calculate

y     

dA

R  x2 + y2

(c)  Show that z(t)4  is real and negative if and only if 4t = (2n + 1)π for some n e 尸.

(d)  Find the x and y coordinates of all the points z(t) for which z(t)4  is real and negative, and 0 < t < π .

(16 marks)

 

 

 

3.

(a)  Find the solution of the following system of differential equations which satisfies x(0) = y(0) = 1

 

dx dt dy dt

=     x + 4y

=    -4x + y

 

(b)  Find the solution y(t) of

 

= 2y + 4 - t   y(0) = b

dt

(c) What is the behaviour of y(t) as t - o?  (This will depend on b.  You should explain how.)

(28 marks)

 

 

 

4.        (a)  Evaluate the following integrals, showing your working clearly.   Your final answers should not contain the Gamma function.

(i)   0(π/)2 (tan3 θ + tan5 θ)e尸 tano θ dθ     (ii)   尸b   yx=0 2x y(12 - y  )e2 尸yo  dydx

(iii)   0尸a (a2 - x2 )4 x7 dx     for a  0

(b)  Calculate the limit as n - o of

(3n)!n 

27n (n!)3

You may quote Stirling’s formula without proof

(14 marks)

 

 

5.        (a)  Find all the eigenvalues and eigenvectors of the matrix

A =  ╱ 、

．-1     0      4 ．

(b)  Let

B = ←

Find an orthogonal matrix M and a diagonal matrix D such that B  = MDMT

(18 marks)