1.  Short answer.

(a)  [2 points]  (True or False; if False explain why) In a model with both fixed and random effects, one should use the Bonferroni multiple comparisons adjustment to compare means for each pair of levels of the fixed effect.

(b)  [2 points]  (True or False; if False explain why) Inference using REML works well when the number of levels of the random factors is small.

(c)  [3 points]  Give one benefit of randomization in an experiment.

(d)  [3 points] In the context of mixed effects models, explain the difference between marginal and conditional residuals.

(e)  [3 points]  Suppose in an experiment one had 4 machines and 5 operators per machine. Is operator nested within or crossed with machine? Why?

2. Experimental design scenarios.

(a)  [6 points]  Consider an experiment to study the loss of pigmentation in cells in the presence or absence of four compounds. That is, there are four factors each at two levels for a total of 16 treatments. The 16 treatment combinations were mixed up and from these mixtures, each treatment was applied to five containers of cells for a total of 80 containers.

i. Identify the the experimental unit(s) and measurement unit in this experiment.

ii. What kind of design is this?

(b)  [6 points]  Suppose that an experiment is conducted to study the strength of an object constructed using an additive manufacturing device.  Two factors of interest are needle dispensing speed and needle diameter. The dispensing speed can easily be changed via a setting on the machine, but to change the needle diameter the needle assembly must be taken apart and cleaned in a time-consuming process.

i. Identify the experimental unit(s) and the measurement unit for the type of experiment most appropriate here.

ii. What type of experiment is most appropriate?

(c)  [6 points]  Consider an experimental comparison of seven treatments aimed to reduce itch- ing.  Ten randomly selected subjects each receive the seven treatments in random order, one treatment per day. After each treatment, an itch stimulus is applied and the response is the number of seconds the itching lasts. The treatments are: (1) no drug; (2) placebo; (3) papaverine; (4) morphine; (5) aminophylline; (6) pentobarbital; and (7) tripelennamine. Identify each of the following:  (a) the factors; (b) whether each factor is fixed or random; and (c) the type of design.

3.  Consider a one-way experiment which studied the laser-assisted manufacturing of a thermo- plastic composite.  The experimental factor was laser power (3 levels:  40, 50, and 60 watts) and there were 3 replicates. The effects model is

Yij  = µ + τi + eij ,

with     i(2)90 τi = 0 and eij  ~ N (0, σ1 ), i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3.

(a)  [4 points] Is τ0 + τ1  estimable? Justify your answer.

(b)  [4 points] Explain why the constraint     i(2)90 τi = 0 is necessary.

(c) Using this experiment,  write down regression models for the following two situations, including an explanation of the model terms:

i.  [4 points]  Consider the factor as categorical with three levels.

ii.  [4 points]  Consider the factor as numeric and the model should capture possible cur- vature effects.

4.  Consider a study to measure the perception of the color of frozen peas. There were 10 randomly chosen food samples measured by five randomly chosen judges. Each judge will measure each food sample three times, so each judge will measure 30 randomly ordered food samples.  The data, code, and output accompany this exam.

(a)  [4 points]  The error term for the sample row in the ANOVA table is MS(sample*judge). Why?

(b)  [8 points] Assuming an ANOVA analysis, calculate the degrees of freedom used in the computation of the confidence interval for  στ(1),  the parameter associated with  sample. Hint: Write τ(1)  as a linear combination of mean squares.

(c)  [5 points]  Compute the approximate 90% CI for στ(1) referred to in the previous part, if the appropriate χ1  critical values are χ_(1) .53,df  = 16.79 and χ_(1) ._3,df  = 3.27.

(d)  [5 points]  Suppose that this experiment was reanalyzed using REML (output included). Compute the large-sample, Wald 90% CI for στ(1)  if the multiplier is z_.53 = 1.64.

(e)  [5 points] What is the overall conclusion of this analysis? Your answer should be in terms that a non-statistician would find compelling.

5.  Consider a chemical experiment with three numerical factors, where the goal is to maximize the yield response.  Assume that there is room to search beyond the current design region. Suppose that the factorial and center runs were performed first, and later the axial runs were added. Data and output accompany the exam.

(a)  [4 points] What is the most important conclusion of the first analysis, which included only the factorial and center runs? Justify your answer.

(b)  [6 points] For the first analysis, which included only the factorial and center runs. There are 4 error degrees of freedom, include 1 lack-of-fit and 3 pure error degree of freedom. Explain where each of these error degrees of freedom (total error df, lack-of-fit error df, and pure error df) comes from.

(c)  [6 points] Now consider the second analysis, which includes the factorial, center, and axial runs. Note the Prediction  Profiler, which provides the maximum over the design space for the fitted full quadratic model.  If you were the statistical consultant for this study, what would you suggest doing next?

6.  [10 points]  Consider the mixed model without interaction:

Yijk  = µ + τi + βj + eijk, i = 1, 2, . . . , a; j = 1, 2, . . . , b; k = 1, 2, . . . , n,

where τi  represents the fixed effect and βj  represents the random effect. Note that I have not specified all the details of this model, but standard assumptions/constraints/distributions are assumed.

(a)  (STA 466 only) Show that V (Yi..) = 2σ合b .