1.  Multiple choice.

(a)  [2 points] In a mixed model, if we are considering the interaction between a fixed and random effect, the interaction term is random.

A.  True

B. False

(b)  [2 points] In the one-way completely randomized design, the least squares estimate of . + ri  is the same, regardless of the constraint imposed to solve the normal equations.

A.  True

B. False

(c)  [2 points]  Consider the one-way completely randomized design with a = 3. Is r1 − r2 − r3 estimable?

A. Yes

B. No

(d)  [2 points] For a random effects model, there are some times that a pairwise comparison of means is necessary.

A.  True

B. False

(e)  [2 points]  The purpose of the Analysis of Covariance (ANCOVA) is to account for the variability that can be explained by a categorical blocking factor.

A.  True

B. False

2. What follows are several experimental design scenarios.   You need to choose a design that could be performed.  Specify and characterize the factors and the number of levels for each, the treatment structure and/or type of design, etc.  In order to receive full credit, I need to understand what the design is and how it would be executed.  If necessary information seems to be missing, make and state a reasonable assumption.

(a)  [5 points]  One of the expenses in animal experiments is feeding the animals. A company salesperson has made the claim that their new rat chow (35% less expensive) is better than the two standard chows on the market.  You wish to test this claim by measuring weight gain of rat pups on the three chows. You have a population of 30 female rat pups, each with her own cage, that can be treated as homogenous units.

(b)  [5 points]  Different gallons of premixed house paints with the same label color do not always turn out the same.  A manufacturer of paint believes that color variability is due to three sources:  supplier of tint materials, miscalibration of the machines that add the tint to the base paint, and uncontrollable random variation between gallon cans.   The manufacturer wishes to assess the significance of these sources of variation and is willing to use 60 gallons of paint in the process.  There are three suppliers of tint and 100 tint- mixing machines at the plant.

(c)  [5 points] An industrial engineer is conducting an experiment on eye focus time.  She is interested in the effect of the distance of the object from the eye on the focus time. Four different distances are used. There are only five subjects available to do the experiment.

3.  Consider an experiment with two factors and a goal of finding the levels of the factors that minimize the response.  The factors have been coded to  [ − 1, 1], from their natural units of [80, 90] and [170, 180], respectively. Coded factors are denoted z1  and z2 ; uncoded factors are denoted 51  and 52 .

(a)  [5 points]  Suppose you ran an experiment that allowed you to fit a two-way interaction model and check for curvature. In this case, you didn’t detect any curvature, and found a fitted model of

yˆ = 78.97 − 1.00z1 + 0.50z2 .

Construct two steps along the path of steepest improvement based on this model.  The first step should be close to the edge of the design region. Give results in both coded and uncoded units.

(b)  [4 points] If you were actually performing the experiments, describe how you would im- plement a series of steps along the path of steepest improvement.  What would you do with the results of each step? How would you decide when to stop?

(c)  [4 points]  Suppose you ran the experiment suggested in part (a), and this time you  did detect curvature. What would you do next?

4. A split-plot experiment is designed to study pigment dispersion in paint. Four different mixes of a particular pigment are studied. The procedure consists of preparing a particular mix and then applying that mix to a panel by three application methods (brushing, spraying, and rolling). The response measured is the percentage reflectance of pigment.  Three days are required to run the experiment, and the data are given in the accompanying output.

(a)  [6 points] Identify the whole plots, split plots, whole plot factor, and split-plot factor.

(b)  [6 points]  Given the analysis in the accompanying output, which treatment combination would you recommend if the goal is to maximize the response?  Use letter notation and u = 0.05.

5.  Consider the experiment in Table 1:

Table 1: Experiment for question 2.

(a)  [3 points] How many factors did this experiment investigate?

(b)  [6 points] What is the resolution of this design?  (Hint: write the design down in a form such that each column represents a factor.)

6. A company has 50 machines that make cardboard cartons for canned goods, and they want to understand the variation in strength of the carton. They choose ten machines at random from the 50. They also choose 10 machine operators at random, because they believe operators may also influence the strength of the cartons.  There are also many batches of glue, and two of them are chosen at random.  So, each operator makes two cartons on each machine with each batch of glue. The resulting cartons are tested for strength. The 200 treatment combinations are assigned at random to the 400 units.

(a)  [4 points]  Based on the output, which variance components appear to account for most of the variation in the response?  (Specify how you interpreted “most”.)

(b)  [6 points]  Consider the machine*glue interaction.  What are the hypotheses associated with this line in the ANOVA table, and what are the two mean squares used to compute the F-statistic for this test?

(c)  [5 points] For the test for the machine effect, verify that the approximate degrees of free- dom for the error term is 8.78.

(d)  [6 points]  Consider again the test for the machine effect. One possible error term for this test is given in the output.  However, it includes a linear combination of mean squares with a negative coefficient, which can lead to problems in the analysis.   Find another approximate F-test (that is, find an appropriate linear combination of MS’s for both the numerator and denominator),  which does not include a negative sign.   Hint:  For the numerator, use ds(machine) + ds(machine*operator*glue).

(e)  [4 points]  Consider the REML output for this problem.  It has different variance compo- nent estimates than the ANOVA analysis. Why?

7.  [16 points]  The surface finish of metal parts made on four particular machines is being studied. An experiment is conducted in which each machine is run by three different operators and two specimens from each operator are collected and tested. Because of the location of the machines, different operators are used on each machine, and the operators are chosen at random.  The data and output accompany the exam.

(a) What is the model that can be used to correctly analyze this experiment?  State it com- pletely.