1. Let (xn )neN  be a convergent sequence of real numbers with xn

Prove that the series

n1+xn

n=1

----- L, where L > 0.

n→+o

converges.

[10 marks]

Solution: Since xn  - L > 0, there exists a positive integer N , such that, for all indices n with n > N ,

xn  > .

For all such n we then have

1 < 1

The series     n n之午(1)上y2 converges because 1+L/2 > 1 (p-test). Therefore the series     n n之午(1){n

converges (Comparison Test).

2.

(a) Let a, b e Z, a < b. Let f : [a, b] - Z be continuous in [a, b] and twice differentiable in

(a, b). Let A and B be the points with coordinates (a, f (a)) and (b, f (b)) respectively.

If the line segment with endpoints A and B intersects the graph of f at a point P with P A, B (see figure 1), prove that there exists a real number c in the interval

(a, b) such that foo (c) = 0. [10 marks]

Figure 1: Plot for Question 2a.

(b) Let a = -4, b = 1 and f (x) = . The points A(-4, ) and B(1, 1) are on the graph

of f and the line segment with endpoints A and B intersects the graph at a third point P (see figure 2). However, there is no point c in the interval (-4, 1) such that foo (c) = 0.  (You are not asked to prove that AB intersects the graph, nor that foo doesn’t vanish).

Explain why this doesn’t violate the result of part (a). [5 marks]