Question 1  [20 marks].

Let Wt  be the standard Wiener process. Define the process Xt  by

Xt  = e−θtWe2θt ,    for some constant θ > 0.

(a)  Compute µm  := E[(Xt )m] for all integer m > 0.

(b)  Compute Cov {Xt , Xs(.

(c) Is Xt  a Wiener process?

(d) Does this process have independent increments?

(e) What is the distribution of the increment Xt − Xs , where t > s?

Question 2  [8 marks].

Suppose that the odds of m possible outcomes of an experiment are oi  > 0, where i = 1, . . . , m. In other words, the return function is given by

Question 4  [26 marks].      The price S(t) of a share follows the GBM with                parameters S = 440,  µ = 0.02,  σ = 0.18. the continuously compounded interest rate is r = 6%.

Consider the option whose expiration time T is 15 months and whose payoff function is

R(S(T )) = ]0(4)35

if  S(T ) - 435,

if  S(T ) > 435.

(a)  Compute the no-arbitrage price of this option.

(b) What is the probability that this option will be exercised?

(c) If you are the seller of this option, what should be your hedging strategy?            Namely, how many shares must be in your portfolio and how much money should be deposited in the bank at any time t, 0 - t - T , in order for you to be able to

meet your obligation at time T?                                                                                 [10]

(d) In one year the price of the share has dropped by 42. How many shares should be       in your hedging portfolio and how much money should be deposited in the bank?    [7]

Question 6  [16 marks].

The price S(t), t _ 0, of a share is described by the

following stochastic differential equation:

dSt  = aSt dt + σ(t)St dWt ,    with initial value   S(0) = S0 , where a is a constant and σ(t), t _ 0, is a positive function

(a)  Solve this equation.

1

(b) Write down S(t) with S0  = 28, a = 0.5, and σ(t) = [0.1 + 0.05π sin(πt)] 2    and compute the probability that in a years time the price of the share will be less than it is now.