1)   State True or False for the following:

a)   Configuration space for any manipulator is unique.

b)   There are 12 basic parameters characterizing a link (also called link parameters).

c)    Parallel robots are the way to go for high reachability.

d)   Each joint can physically have only one joint variable associated with it.

e)   Joint variables are always angles.

[5 points]

2)   For the manipulator shown here, do the following:

a)    Derive the link parameters (to find the transformation from wrist to base frame).

b)   In MATLAB, First create a function to determine the transformation matrix (−1) based on  the  values  of  the  4  link  parameters.  First  create  a  function  to  determine  the

transformation matrix (−1) based on the values of the 4 link parameters (you can use the same function developed in class for the simple manipulator).

c)    Use this function to calculate all matrices required to go from tool frame to base frame. [Try  to  do  this  in  a  recursive  fashion  by  writing  a  script  that  calls  the  function automatically multiple times, for different values of link parameters.] [Assume L1 = 10m, L2 =  10m,  L3 = 0m, and  1  = 45°,  2  = 30°,   3  = −30°, or any arbitrary values for angles are also acceptable].

d)   Use this further to create a function to find the end effector  position for given joint angles  [Hint:  End effector position is only the translational  part of the homogeneous matrix].

e)    Plot the workspace for the robot, for 1  ∈ [0°, 90°],  2  ∈ [0°, 90°],  3  ∈ [−45°, 45°].

f)    For  a  particular  configuration,   1  = 45°,   2  = 30°,   3  = −30°  plot  the  robot  links. [Hint: It doesn’t have to be a fancy plot. Just find the end points of each link and join them  with  lines.  You  can  use  “plot3”  command  in  MATLAB,  and  use  the  option “LineWidth” to control the thickness of the  line. Or use the “quiver” command used before, or use anything of choice]

[15 points]

The code could be as follows:

function [T] = characteristicTransformation(alpha,a,d,theta)

T = [cos(theta), -sin(theta), 0, a;

sin(theta)*cos(alpha), cos(theta)*cos(alpha), -sin(alpha), -

d*sin(alpha);

sin(theta)*sin(alpha), cos(theta)*sin(alpha), cos(alpha),

d*cos(alpha);

0, 0, 0, 1];

c) The results are:

T =

0.7071   -0.7071         0         0

0.7071    0.7071         0         0

0         0    1.0000         0

0         0         0    1.0000

T =

0.8660   -0.5000         0   10.0000

0.0000

0.5000

0

0.0000   -1.0000

0.8660    0.0000

0         0    1.0000

0

0

T =

0.8660    0.5000         0   10.0000

-0.5000    0.8660         0         0

0         0    1.0000         0

0         0         0    1.0000

d) The final homogeneous matrix is:

T_WB =

0.7071   -0.0000    0.7071   13.1948

0.7071         0   -0.7071   13.1948

0    1.0000    0.0000    5.0000

0         0         0    1.0000

End Effector Position:

x = 13.19, y = 13.19, z = 5

e) The plot looks like the following:

3)   Imagine an arm like the PUMA 560, except that joint 3 is replaced with a prismatic joint (Note that PUMA 560 is discussed in one of the examples in the textbook). Assume the prismatic joint slides along the direction of X1  in the figure. However, there is still an offset equivalent to d3  to be accounted for. Make any additional assumptions needed. Derive the kinematic equations.

[10 points]