Hello, dear friend, you can consult us at any time if you have any questions, add WeChat: daixieit

Academic Year 2020-2021

Partial Differential Equations in Action

Midterm Exam

Instructions: The neatness, completeness and clarity of the answers will contribute to the final mark. You must turn in handwritten solutions written on paper and scanned. You should upload your answers to this test as a single PDF via the Turnitin Assignment called Whole exam dropbox which you will find in the Exam Paper and Dropbox(es) folder.

IMPORTANT – Use the following naming convention for your file AND for the Title of your Turnitin submission:  [CID]_[ModuleCode]_full_submission.pdf. Your first page should be the ”Maths Cov- ersheet for Submission” (which can be download from blackboard) and be completed.

∂t     2x ∂x

u(x, 0) = 0,

u(0, t) = sin(t)

(a)  Find the equation of the characteristics for this problem.  Sketch the characteristics and draw in the (x, t)-plane the curve that separates regions where the solution is identically zero from regions where it is non-zero.

(b)  Using the method of characteristics, find the solution of this problem for all x > 0, t > 0.

(c)  In the region where the solution is non-zero, how many local maxima and minima does the solution exhibit at a given time ts? Find how many local maxima and minima occur when ts = 10.     3 Marks

2.                                We consider the one-dimensional flow of a fluid. It can be shown that the ve- locity u(x, t) of the fluid in this problem is governed by the nonlinear partial differential equation

∂u        ∂u

∂t       ∂x

Here, we assume that the initial velocity field is given by

u(x, 0) =

where us  is a positive constant.