Hello, dear friend, you can consult us at any time if you have any questions, add WeChat: daixieit

MATH256


1.  In addition to their applications for data fitting, the Chebyshev polynomials Tn (x) are useful for approximating functions. This problem is concerned with approximations of the type f (x) ≈ SN (x), where

N

SN (x) =      κn cnTn (x).                                                  ( )

n=0

 1

Here {cn } is a set of constants that depend on f , and κn  =  2

 1

if n = 0,

otherwise.

(a)  Let m and n be nonnegative integers .  Use the substitution x = cos θ to show that the Chebyshev polynomials Tn (x) satisfy the orthogonality relationship

 Z11

  1

dx =  κn

 0

if m = n,

otherwise .

Hint: 2 cos(mθ) cos(nθ) = cos (m + n)θ  + cos (m n)θ  .

Consider the residual

RN  =  Z dx.

Find an expression for          and hence deduce that the residual is minimised if

cj  =  Z11  dx,    j = 0, 1, . . .

(c)  Suppose that the coefficients bn  satisfy the recurrence relation

bn (x) 2xbn+1(x) + bn+2(x) = cn      with    bN+1(x) = bN+2(x) = 0.

By using the recurrence relation to eliminate cn  from ( ∗), show that

SN (x) = b0 (x) b2 (x)

(†)

You are not asked to investigate the stability of the recurrence relation .

Hint: find the coefficients multiplying b0 , b1 , b2 , . . . in ( ∗).  You will need the recurrence relation for Chebyshev polynomials (problem 6.5); be careful with κn .

 


2. The Cn  quadrature rule for the interval [1, 1] uses the points at which Tn 1 (t) = ±1 as its nodes

because T2 (t) = 2t2 1 .

(a)   (i)  Find the nodes and weights for the C5  quadrature rule .

(ii)  Determine the first nonzero coefficient Sj  for the C5  rule .

(iii)  If the C5  rule and the five-point Newton– Cotes rule are applied on the same number of

subintervals, what approximate relationship do you expect the two errors to satisfy?     (iv)  Suppose that the C5  rule has been applied on N subintervals, and that all of the function

evaluations have been stored.  How many new function evaluations are required to apply the C9  rule on the same set of subintervals? Justify your answer .

(b)  Consider the approximation

11 g(t) dt  wq g(tq ).

where tq  and wq  are the nodes and weights for the Cn  quadrature rule . Assume that n is odd,

and let k = (n 1)/2 .

 

  = wq cos   2(qn1 )1  !,    j = 0, 1, . . . , k .

(ii)  Consider the operator

Sk [cj ] =   +  cj .

It can be shown (proof: exercise for fun) that

Sk "cos   2(qn1 )1  !# = 0,    for    q = 2, . . . , n 1.

1

4k2 1 .

(c)   (i) Write a Maple procedure that takes as its arguments a function f , real numbers a and b and a number of subintervals, N . As its result, it should return the approximate value of

I = ab f (x) dx,

calculated using the C5  rule .

(ii)  Test your procedure using

I1  =    03  dx

and N = 2 . Calculate a second estimate using the five-point Newton– Cotes rule, also with N = 10 . Verify that the ratio of the errors is in agreement with your theoretical prediction from part (a) .

(iii)  Repeat the calculations from part (ii) using a second integral chosen arbitrarily.  Do not use a polynomial for f (x), but make sure there is no possibility of division by zero etc .

The numerical methods package provides a five point Newton– Cotes procedure; you can also download the procedure code from Canvas (five_pt_NC .mw) .