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MATH40082 (Computational Finance)

Assignment No. 2: Advanced Methods

1    Background Theory

1.1    Convertible Bonds

You are asked to price a bond contract in which the holder has the option to choose between receiving the principle F or alternatively receiving R underlying stocks with price S at time t = T.  The contract can therefore be expressed as a function of the underlying stock price S and time t, assuming that risk free interest rates are constant and the default risk of the bond is negligible.  The terminal condition of such a contract is therefore given by

V (S,T) = max(F,RS)                                                                 (1)

The issuer of the bond has also decided to pay out a continuous coupon at the rate of K(t) = Ce t

(2)

for constants C and ↵ of their choosing. This means that the holder of the bond contract will receive          Ce tdt                                                                             (3)

at each instant in time from the issuer.

Assume now that the risk-neutral process followed by underlying stock price is given by

dS =  (✓(t) − S)dt + σSβ dW.                                                          (4)

Here  is the mean reversion rate, β is the elasticity of variance in the market, and the function ✓ is given by

✓(t) = (1 + µ)Xeµt

where X  and µ are constant model parameters that can be determined from the market, reflecting the dividend payout policy of the rm.

It is relatively straightforward to show that the market value V (S,t) of this contract satisfies the following

PDE

 + σ 2 S2β  +  (✓(t) − S)  − rV + Ce t = 0.

The boundary conditions of this problem are given as

 + ✓(t) − rV + Ce t = 0,        at S = 0

and

V (S,t) = SA(t)+ B(t)       as       S ! 1

for some functions A and B to be derived.

(5)

(6)

(7)

1.2    Options embedded in the contract

In this section we consider the case where the rm issuing the bond contract looks to embed further American style options into the contract. The rst addition they make to the contract is to enable the holder to exercise the decision to convert the bond in stock at any time before the maturity of the contract.  This results in an American style condition which gives the inequality

V ≥ RS                                                                             (8)

for all t < T.

From this condition we can assume that for large enough S the bond holder will always choose to convert so that

V (S,t) ! RS       as     S ! 1                                                       (9)

is the boundary condition for large S .

Call Option

If the bond has written in the contract that the issuer may buy back the bond at the price Cp over some time period t < t0  then the value of the bond must satisfy the following condition

V (S,t)  max(CP ,RS)       if   t  t0 .                                                  (10)

For this condition to work we are assumming that the holder is allowed to choose to convert rather than be bought out.

Put Option

Another option often written in a bond contract is that the holder may have the option to sell the bond back to the issuer at the price Pp over some time period t < t0 . Then in this case the value of the bond must satisfy the following condition

V (S,t) ≥ Pp      if       t  t0 .                                                          (11)

Default Barrier

Sometimes the bond holders are given an option to force the company to buy back the bond if the value of equity goes below some pre-specified level and the rm is at risk of bankruptcy. We assume here that they only have the option to force the sale at the price Kp during some xed time period t < t0 , and that the barrier B below which S must not go is written in the contract. In this case we nd the value of the bond must satisfy the following condition

V (S,t) = Kp      if     S  B    and   t  t0 .                                              (12)

2    Tasks

2.1    European Options

• Include in your report a brief derivation of the boundary condition (7) for large S .  You will need to find the functions A(t) and B(t) by solving the approximate problem

 +  (X − S)  − rV + Ce t = 0

assuming that the solution to this equation is of the form

V (S,t) = SA(t)+ B(t).

(understanding 5 marks)

• Write  code  to  calculate  the  value  of the  option  V .   You  must  use  the  nite-di↵erence  method  with a  Crank-Nicolson scheme,  along with an appropriate method to solve the algebraic system .  You can derive an analytical result when β = 1 and  = 0 to check that your code is working  (this is left up to you to check), but do not include these results in your report .  Write out the correct numerical scheme (i .e .   aj =,  bj =,  cj =  and  dj =),  including at j = 0  and j = jMax,  in your report .   Be careful to make your notation clear and understandable .

(coding 3 marks, understanding 5 marks)

Unless otherwise instructed, you should assume that the following standard values for the parameters apply:  T = 3, F = 86, R = 1, r = 0 .0222,   = 0 .0833333333333, µ = 0 .0061, X = 79 .89,  C = 0 .955, ↵ = 0 .03, β = 0 .253 and σ = 9 .84.

• Plot out the value of the option V (S,t) as a function of the underlying asset price S (at t = 0) for the following two cases:

1.  β = 1, σ = 0 .353, all other parameters as standard .

2.  β = 0 .253, σ = 9 .84, all other parameters as standard .

Comment on the results in each case, can you explain how the change in parameters a↵ects the results

and why?  You may wish to present one more graph exploring di↵erent values of β and σ .                         (understanding 5 marks)

• Assume now that S0  = 79 .89, include in your report an accurate estimate for the option value V (S0 ,t =

0) using the parameters outlined above with β = 0 .253 and σ = 9 .84 .  Explain how you obtained your result,  how  efficient  it  is,  and  also  how  accurate  it  is,  by  exploring  the  e↵ect  each  of the  di↵erent numerical parameters  (iMax, jMax, Smax ) have on your solution .  You may entend the method with higher  order  interpolations  and  Richardson  extrapolation  but  the  scheme  should  be  Crank-Nicolson Finite Di↵erence .

(originality  7 marks  )

2.2    American Options  embedded options

You may value this option with any technique you like, but it will e↵ect your answer to the nal question . Very  briefly  describe  the  numerical  method  that  you  have  used  (i .e .   state  if you  use  explicit  FD,  Crank- Nicolson with PSOR, policy iteration or penalty method) .

(Coding 2 marks)

Unless  otherwise  instructed,  you  should  assume  that  the  following  standard  values  for  the  parameters apply:   T =  3,  F =  86,  R =  1,  r =  0 .0222,    =  0 .0833333333333,  µ =  0 .0061,  X  =  79 .89,  C =  0 .955, ↵ = 0 .03, β = 0 .253 and σ = 9 .84 .  The bond contract you must value is an American style convertible bond with an embedded barrier option, which means that the holder is forced to sell at the price Kp = 73 at the barrier B = 60 for any t < 1 .0484.

• Plot out the value of your American style bond contract as a function of asset price S, at t = 0 between S = 0 and S = 2X, and mark on the graph any optimal decision points .

(understanding 5 marks)

• Using nite di↵erence approximations and by solving the American style option with di↵erent values of r, plot out the value of partial di↵erential

@V

@r

as a function of the underlying asset price S (at t = 0) between S = 0 and S = 2X .  Does your result look  reasonable,  for  instance,  did  you  expect  the  value  to  be  zero,  positive,  negative,  large,  small, continuous or discontinuous?                                                                                                    (understanding 5 marks)


• You  are  tasked  with  providing  the  most  accurate  value  possible  of  American style  version  of the option  using the  parameters  given  above .   Assume that you  are  only  given  1  second  of computation time to return a value of the option at S0  = 79 .89 .  State the most accurate value you can get in that time limit, how you verified it and any techniques used .  Be careful to work around any discontinuities in the domain and explain how you did so .

(originality 8 marks)

3    Instructions

This assignment is the last assignment, and it will account for 50% of your nal assessment for this module . Marks will be awarded as follows:

(i)  5% for working codes;

Grade         Description

0-50%

50%-70%

70%- 100%

(ii)  5% for the presentation of your written report;

Grade         Description

0-50%

50%-70%

70%- 100%

(iii)  25% for the understanding of the problems involved;

Grade         Description

0-50%

50%-70%

70%- 100%

(iv)  15% for originality/initiative .

Description

Little or no attempt at adapting the methods for this particular

problem.   Those adaptations that have been implemented have

poorly presented results or the student is unable to demonstrate

they can correctly interpret results.

Is able to eciently adapt the method for this problem, or make

improvements to the standard implementation. Is able to present

results and discuss them. Results are well presented.

Is able to implement new or combine existing algorithms together

to produce a highly efficient numerical method.  Presentation of

the results is excellent.  Student is able to correctly interpret re-

sults and compare methods in a coherent way.

Please see bullet points for a more detailed breakdown of marks.

Reports should be prepared electronically using either MS Word, LaTeX, or similar, and must be submit- ted without your name, but with your university ID number online through the TurnItIn system. Please include the program les used to generate results for the report in an appendix as plain text with the document. Your report should be written in continuous prose in the form of a technical report and should be at most 10 pages long (excluding appendices). Any programming language may be used.  The deadline for this assignment is 11am on Monday 16th May.

THIS DEADLINE MUST BE STRICTLY ADHERED TO  Reports handed in AFTER 11am Monday 16th May will be docked 5 marks plus an additional 5 marks each day thereafter until a mark of zero is reached.  Reports handed in after 11am Wednesday 25th May will be awarded a mark of zero and will not be marked, unless the student is eligible for extra time via DASS.

In order that your report conforms to the standards for a technical report, you should use the following structure:

• give a brief introduction stating the problem you are solving and the parameters you are using (from the model or method),

• present your results in the form of gures and tables, using the order of items in the bullet points as a guide as to the order of your document

• absolutely NO screenshots of running code need to be included,

• do not include overly long tables a table should never cross over a page,

• present the results for any methods you have implemented, there is no credit for a discussion of a method that has not been shown to be implemented by you (through results) for your problem

• refer to and discuss each of your results in the text, part of the marks available in each bullet point are for interpreting the results

• try to keep to the page limit, removing any unnecessary results from the main text

• number and caption your gures and tables and refer to them by their number (not their position in the text),

• number any equations to which you refer,

• use consistent internal (and external) referencing.