Question  1. The lifetime of a mechanical system is modelled by the following mortality intensity1 :

µ(t) ≡ λ,    t ≥ 0,λ = 10 − 1 .

(1) Define in R the survival probability function (t,x) → tpx and calculate the probability of surviving the next 5 years for a 15-year-old system.2

General wear and tear in mechanical systems mean the memoryless property of constant mortality is a questionable one. We overcome that by introducing a time-dependent term:

(t) = λ + γ log(log(e + t)),    t ≥ 0,    λ = 10 − 1 ,γ = 1.5

(2) Consider a 15-year-old machine, of which the remaining lifetime T15  follows the mor- tality function  .

(a) Define in R the density function for T15 . This definition may involve a numerical integral.

(b) Calculate the expected remaining lifetime for this individual.

(c) Define in R the cumulative distribution function of T15 .   This definition may involve a numerical integral. Discuss how you would find the 95-th percentile of T15 .3

Question 2. This questions is divided into parts. Both parts use the same data set of fully observed lifetimes given below:

64   75   29   45   67   65   77   90   65   55

80   67   72   46   64   28   68   75   49   94

(1) Let us suppose that this data set comes from a gamma distribution with shape-rate parametrisation, i.e:

f(x|α,β) = xα − 1 e −βx ,    x > 0.                                        (1)

(a) Using the results:

α                       α

β ,                     β 2 ,

derive the method of moment estimators for α and β .

(b) Using your MMEs above as the initial values for optim, derive the MLE for α and β .

(2) We propose a lifetime model with the following mortality intensity function: µ(t) = α × λα  × tα − 1 ,    t ≥ 0.

(a) Derive algebraically the probability density function for lifetime and write down

the joint-likelihood of the given sample.