Key points:

1.   Non-cooperative Game (Week 9’s notes)

•   Comply-Cheat scenarios profits calculation:

 = 0 to derive  $  response function, which is a function of  %

 =  ,  − &'()  = 

$  + %  = 

 = 0 to derive  %  response function, which is a function of  $

 =  ,  − &'()  = 

$  + %  =

Using two equations to find two unknowns   and   .

•   Credible Punishment calculation:

{Comply, Comply} is at least as good as your payoff in {Cheat, Cheat}

$3757 − α ≥ $3456

Remove the incentive to Cheat

$3757 −  ≥ $4347 − 

•   Repeated Game calculation:

1 +  +  %  +  ,  + ⋯ =

 -./012  = 3757 + 3757 + 3757%  + ⋯ = 3757(1 +  +  %  + ⋯ ) =  >  -3)'( = 4347 + 3456 + 3456%  + ⋯ = 4347 + 3456(1 +  +  %  + ⋯ )     = 4347 + 

This  is a subjective probability: what chance do you believe the game will continue?

2.   Cooperative Game (Week 10’s notes)

•   Finding two NE and the corresponding calculation

 B -./012 C ≥ ( -3)'()

3757 + 3407(1 − ) ≥ 3747 + 3456(1 − )

 ≥ 83%

•   Risk factor calculation:

Risk factor = 1 −  , the probability resulting in the Cheat-Cheat NE.

This  is also a subjective probability, what’s your belief on the other firm’s cooperation?

With two different equations

(/ ) > (4 )   =>    < 

( ( ) < (5 )  =>     > 

Each firm’s profit (minus taxation if getting tax)

Tax revenue (q_u * tax rate)

Firm production level q_u + q_d

The government must hold a belief that the firm has more than 3/13 chance to merge to   choose the No-tax strategy. The firm must hold a belief that the government has more     than 1/2 chance to choose the tax policy to merge. Note that this will also be observed by an outsider (like a local resident) to calculate the corresponding probability.

3.   Incomplete Information

•   Bayes’ Rule calculation:

Updated belief based on the new information. Consider the nod-and-smile gesture in the job interview example.

•   Bayes Nash Equilibrium calculation: Steps of solving this type of game:

a.    If You play strategy A for certain, find the other player’s best response in a format: (type 1 with probability : strategy  , type 2 with probability 1 − : strategy Y)

b.   Calculate your payoff under this best response: (6 )

c.   Assuming the same best response made by the other player, calculate the payoff if you switch to strategy B: (7 )

d.   Let (6 ) > (7 ) to find the probability  .

e.   Under this probability, BNE = (A, (type 1: strategy X, type 2: strategy Y))

f.     If You play strategy B for certain, find the other player’s best response in a format: (type 1 with probability : strategy Y, type 2 with probability 1 − : strategy X).   Note, these X and Y are made up strategies, could be the same as above.

g.   Calculate your payoff under this new best response: (7 )

h.   Assuming the same new best response made by the other player, calculate the payoff if you switch to strategy A: (6 )

i.    Let (6 ) < (7 ) to find the probability  .

j.    Under this probability, BNE = (B, (type 1: strategy Y, type 2: strategy X))

k.   Outside the probability range you found above, no BNE can be achieved.

•   Separating or Pooling NE calculation: Steps of solving this type of game:

a.   Write the format of the possible equilibria

Separating strategy = (type 1 with probability : strategy A, type 2 with probability 1 − : strategy B) or (B, A)

Pooling strategy = (type 1 with probability : strategy A, type 2 with probability 1 − : strategy A) or (B, B)

b.   Check the separating equilibrium

If the other player plays (A, B), in each payoff matrix, you can find your optimal        responses accordingly. Assume that strategy A is dominant, then use (6 ) > (7 ) to find the probability.

c.   Under this probability range, BNE = (A, (A, B)). Note that it could also be (B, (A, B)), (A, (B, A)) or (B, (B, A)) based on the matrix tables you observe.

d.   Check the pooling equilibrium

If the other player play (A, A), in each payoff matrix, you can find your optimal         responses accordingly. Assume that strategy B is dominant, then use (6 ) < (7 ) to find the probability.

e.   Under this probability range, BNE = (B, (A, A)). Note that it could also be (A, (A, A)), (B, (B, B)) or (A, (B, B)) based on the matrix tables you observe.

4.   Applications

•   Game Tree calculation:

Be sure to compute the hidden probability, such as both efforts ’ failure probability in the

case 3 example

•   Cournot calculation:

Emphasize the response function definition:

 $  = $ (% ) =    2    −  2

 %  = % ($ ) =  −

Note that results would be different if marginal costs are different: ($ ) = $  $  and (% ) = %  % :

Then, write down profit functions for each firm first, take the derivatives with respect to the corresponding firm’s output, set it to be 0 to derive the response function.

•    Stackelberg calculation:

Because firm 2 enters into the market as a follower, it produces based on firm 1’s output level as its best response: