1.  (8 marks) Find the domain and range of the each of these functions.

a)  (4 marks) f (x) = ,x2 _ x + 3 _ 2

b)  (4 marks) g(x) = e ′α -1

2.  (8 marks) Consider the function f (x) = 3x + 2x2 + eα .

a)  (4 marks) Find the second order Taylor polynomial for f (x) about x = _1.

b)  (2 marks) Use your answer from part a) to calculate approximate values for f (_1.01) and f (_5). Round to the nearest hundredth.

c)  (2 marks) Compare your answers from part b) to the true values of f (_1.01) and f (_5). How far off the true value was each approximation?

3.  (8 marks) The graph function f (x), defined on the interval [_2, 2] is as follows:

4

3.5

3

2.5

2

1.5

1

0.5

0-2             -1.5             -1             -0.5         0          0.5              1              1.5              2

a)  (4 marks) Using set notation, report the values of x for which f′ (x) exists and f′ (x) > 0.

b)  (4 marks) Using set notation, report the values of x for which f′′ (x) exists and f′′ (x) < 0.

4.  (8 marks) The graph function g(x), defined on the interval [_2, 2] is as follows:

7

6

5

4

3

2

1

0

-1

-2

-2             -1.5             -1             -0.5             0              0.5              1              1.5              2

a)  (4 marks) Using set notation, report the values of x for which g′ (x) exists and g′ (x) < 0.

b)  (4 marks) Using set notation, report the values of x for which g′′ (x) exists and g′′ (x) < 0.

5.  (24 marks) Find the first and second derivatives of each of these functions. Simplify as much as possible.

a)  (8 marks) f (x) = e2α ln(3x + 1)

b)  (8 marks) g(x) = (x5 + 3x2 + 43x)(12x + 3)

c)  (8 marks) h(x) = (ln(x + 3) _ ln(x + 2))2

6.  (16 marks) Use implicit differentiation to find  and  for each of the following cases:

a)  (8 marks) y4 + y = x

b)  (8 marks) y = e2α+g

7.  (12 marks) Suppose that a firm can sell a quantity q at a price of 100 _ 2q. The firm’s costs are given by C(q) = q3 + 2q2 + F for some F > 0.  The constant F is a fixed cost that only needs to be paid if the firm opens its doors (think of this as registering the firm, buying land for production, etc.). If the firm does not open its doors, it earns 0 profits.

a)  (6 marks) Suppose that the firm has chosen to open its doors. What is the level of q which maximizes profits?

b)  (6 marks) For what values of F should the firm open its doors? In other words, for what values of F will the firm earn positive profits given the solution to part a)?

8.  (16 marks) Suppose that there is a worker who is deciding how much to work.  They have a job that pays them at wage w and they can choose how many hours é that they want to

work.

a)  (4 marks) The decision maker values dollars of consumption as c  and has a linear dislike of labor provision. Thus, the decision maker chooses é to maximize

2

(wé) 3   _ é

Find the é which solves the decision maker’s problem, treating w as a constant.

b)  (6 marks) Suppose that now the decision maker is now faced with a labor tax of τ (where 0 < τ < 1), so their take-home pay is only (1 _ τ )wé. Find the value of é that maximizes

2

((1 _ τ )wé) 3   _ é,

treating both w and τ as constants in the maximization problem. Does a higher value of τ lead to higher or lower é?

c)  (6 marks) Suppose now that the decision maker faces a  “poll tax” of T that does not depend on their earnings, so their take-home pay is only wé _ T.1  Find the value of é that maximizes

2

(wé _ T) 3   _ é,