Question no. 1

Ten profit-maximizing firms play the following Cournot competition game. Each firm i simultaneously chooses a quantity xi . Its payoff is xi(12-X) – C(xi), where X is the    sum of all ten firms’ chosen quantities, and C is a fixed-cost function satisfying           C(0)=0 and C(xi)=4 for every xi>0.

1.   Show that there is no symmetric pure-strategy Nash equilibrium in the game.

Suppose all firms choose x=0. Then, each firm earns zero profits. If a single    firm deviates into, say, x=6, it will earn a net profit of 6*6-4 > 0, a                     contradiction. Now suppose all firms choose x>0. Then, x must maximize        x(12-x-y), where y is the total quantity of all nine opponents of a single firm.   Then, by first-order conditions and symmetry, x=(12-y)/2 and y=9x, such that the firm’s profit is (12/11)^2 – 4 < 0, a contradiction.

2.   Find an asymmetric pure-strategy Nash equilibrium in the game.

Let us guess that five firms play x=0 whereas five firms play the same x>0.      Then, by first-order conditions and symmetry, x=(12-y)/2 and y=4x, such that x=2. Thus, conditional on playing x>0, x=2 is optimal for each of the firms      that play the positive quantity in equilibrium. Plugging this into the payoff     function of a firm that plays x=2, we obtain 2*(12-2-4*2) – 4 = 0, hence the      firm is indifferent between playing x=2 and x=0. In contrast, a firm that plays x=0 strictly prefers it to playing x>0, because that will imply strictly negative profits.

3.   Find a symmetric mixed-strategy Nash equilibrium in the game, where each firm randomizes between only two quantity values.

Suppose firms mix between x=0 and x=2, such that they assign probability      4/9 to x=2. Then, as far as an individual firm is concerned, the expected profit it faces as a function of its own choice of x is x*(12-x-9*(4/9)*2) – C(x), which

reduces to x(4-x) – C(x), leading to the indifference between x=0 and x=2, and a strict preference to all other values of x. This completes the proof.

Question no. 2

Two agents with quasi-linear utility decide whether to submit a request for a single, indivisible object of common value v. Agent 1 has priority: If she requests the object, she gets it for sure. When agent 2 requests the object, he can get it only if agent 1 does not request  it.  For  each  agent,  submitting  a request  entails  a  fixed  cost  c(0,1), independently of whether the request is granted.

Assume v takes two possible values, 0 and 1, with equal prior probability. The agents are asymmetrically informed about v. Agent 2 receives no information. As to agent 1, with probability 1-q he receives no information. With probability q, he receives a signal with accuracy p(½,1) - i.e., for every v, the signal is equal to v with probability p.

1.   Describe the interaction between the two agents as a Bayesian game.

2.   Define pure-strategy Nash equilibrium in this game.

3.   Characterize  the  game’s  pure-strategy Nash  equilibrium,  as  a  function  of the parameters c,q,p.

(Ignore the cases of ties, for notational simplicity.) When agent 1 receives no information,  it  requests  the  object when  ½-c  >  0. When  it  receives  good information, it requests the object when p-c > 0, and when it receives bad information, it requests the object when 1-p-c > 0.

Suppose c>p. Then, agent 1 never requests the object, and therefore agent 2’s payoff from requesting it is 0.5-c < 0, hence no agent ever requests the object in equilibrium.

Suppose c is between 0.5 and p. Then, agent 1 requests the object if and only if he receives good information. Then, agent 2’s expected utility from requesting the object is 0.5*0 + 0.5*[q*(p*0+(1-p)*1)+(1-q)*1] – c  = 0.5(1-pq) – c < 0, hence agent 2 does not request the object.

Now suppose c is between 1-p and 0.5. Then, agent 1 requests the object if and only if he does not receive bad information. Then, agent 2’s expected utility

from  requesting the object is 0.5*0 + 0.5*[q*(p*0+(1-p)*1)+(1-q)*0] – c = 0.5q(1-p) – c, which is negative because c > 1-p. Therefore, agent 2 does not request the object.

Finally, suppose c is below 1-p. Then, agent 1 always requests the object. Then, agent 2 gets a payoff of –c if he requests the object, hence he does not request the object.

We see that agent 2 never requests the object in equilibrium, for all values of p,q,c.

Question no. 3

Consider a three-period version of the Rubinstein bargaining model in which:

•   Player A (she) makes a proposal (x,1-x) in period 1 (where throughout the  problem the first number indicates the fraction of the pie that player A gets, before discounting).

•   If player B (he) rejects (x,1-x), he makes a proposal (y,1-y) in period 2.

•   If player A rejects (y,1-y), the players split the pie at (½, ½) in period 3.

Players discount time with a discount factor of (0,1) per period.

1.   Fully characterize the subgame perfect equilibrium of this game.

By backward induction:

•   In period 2, player A accepts any y/2 regardless of the history.

•   Player B finds it optimal to propose y=/2, again regardless of the history, resulting in payoffs (2/2, (1-/2)).

•   In period 1, player B accepts any offer 1-x(1-/2).

•   Player A finds it optimal to offer 1-x=(1-/2) to B.

2.   For this part, suppose player A is “tough”: In period 2, she never accepts an offer that gives her less than player B, even if this is ultimately to her detriment. Take this posture as given, and perform backward induction to derive the players’       behavior in periods 1 and 2.

By backward induction again:

•   In period 2, player A accepts any y1/2 regardless of the history, because ½ is already better than rejecting and she cannot accept lower offers        because of “toughness.”

•   Player B finds it optimal to propose y=1/2, again regardless of the history, resulting in payoffs (/2, /2).

•   In period 1, player B accepts any offer 1-x/2.

•   Player A finds it optimal to offer 1-x=/2 to B.

3.  Now suppose player A is the tough type from part 2 with probability p(0,1),        while with probability 1-p she is “normal” as in part 1. Player A’s type is observed by her but not by Player B. Does this game have a separating perfect Bayesian       equilibrium in which the offer is always accepted in period 1? If so, fully               characterize it; if not, explain why.

No. In a separating equilibrium where the game ends in period 1 offers must be different. Therefore, the type that offers more in equilibrium will find it optimal to deviate to the lower offer of the other type.

4.   Consider the game from part 3 and assume p>½ . Is there a perfect Bayesian       equilibrium in which both types of player A make the same offer in period 1? If so, fully characterize it; if not, explain why.

Yes. As usual, we apply backward induction.

•   In period 2 player A behaves according to their type regardless of history: accept offers y/2 if she is a normal type and y1/2 if she is a tough type.

•   Consider player B’s offer in period 2 in the histories following the period

1 offer that is on the equilibrium path. Since both types make the same      offer in period 1, B’s belief about the type is the same as the prior. Out of all offers player B can make, two are reasonable: y=/2 or y=1/2 (the         others are immediately dominated). The offer y=1/2 is accepted by both    types, resulting in a payoff /2 for player A. The offer y=/2 is only             accepted by the normal type. Thus, with probability 1-p player A gets (1-  /2), and with probability p she gets 2/2 (from half of the pie in the third  period). The expected payoff is (1-p)(1-/2)+p2/2=(1-/2)-p(- 2). It is    straightforward to check that this is below /2 whenever p>1/2, and so the

offer of y=1/2 is optimal.

•   In that case both types of player A optimally offer 1-x=/2 in period 1.

•   It remains to characterize strategies and beliefs out of equilibrium path. A simple way is to suppose that the beliefs and strategies of player B are the same regardless of the period-1 action of player A.

Question 4

Consider the following simultaneous-move game:

A

B

C

D

X           Y           Z           W

1.   Find all pure-strategy Nash equilibria of this game.

(B,Y) and (C,Z). Best responses for player one are highlighted in the table above, and they are symmetric for player two.

For the rest of the question, suppose this stage game is repeated for T periods. Players in each period observe the actions taken in all previous periods. Payoffs in the            repeated game are the sum of the payoffs received in each period; there is no              discounting.

2.   When T=2, show that there is a Nash equilibrium in which (A,X) is played in the first period. Fully characterize this equilibrium.

Answer: yes. Play (A,X) in the first period. If nobody deviated, play (B,Y). If       only player A deviated, play (A,W). If only player B deviated, play (D,X). If both deviated, play for example (C,Z).                                                                                 Here the player who deviated in the first period is punished by the other player   by minmaxing, which here means playing D or W. Deviating in the first period is

not individually rational: by deviating to B in the first period player 1 only gets 7+0 instead of 5+4, regardless of her second-period play. And deviating in the

second period only is not profitable because (B,Y) is a Nash equilibrium.