Question no. 1

Two profit-maximizing firms independently choose whether to offer a product of high or low quality. When a firm offers a high-quality product, it incurs a fixed cost            (independently of whether it sells the product) of c  (0,½). Offering a low-quality     product entails no cost. Simultaneously with its quality choice, each firm also decides whether to advertise its product at a cost m.

A consumer is initially assigned to one of the two firms (with probability ½ each). If the other firm offers a higher-quality product and advertises it, the consumer switches to it. Otherwise, the consumer sticks to her initially assigned firm. The firm that is      eventually selected by the consumer earns a gross revenue of 1, while the other firm   earns zero gross revenues.

1.   Describe the firms’ interaction as a two-player strategic game.

2.   Let m=0. Find a symmetric pure-strategy Nash equilibrium in the game.

Both firms choose high quality and advertise.

3.  Now suppose m  (0, ½-c).

a.   Show there exists no pure-strategy Nash equilibrium.

If both firms offer high quality, they prefer not to advertise. But this gives a firm an incentive to deviate to low quality. If both firms offer low quality, a firm has  an incentive to deviate to high quality and advertising. If one firm offers high      quality and the other offers low quality, the high quality firm wants to advertise, but then the low quality firm prefers to deviate to high quality.

b.   Is there a symmetric mixed-strategy Nash equilibrium in which the      equilibrium strategy has full support (i.e., every pure strategy is played with positive probability)? Explain.

No. Given that the opponent offers a low-quality product with positive                 probability, offering a low-quality product and advertising it gives strictly lower payoff than offering low quality without advertising.

c.   Find a symmetric mixed-strategy Nash equilibrium.

Each firm randomizes over three strategies: (h,0), (h,1) and (l,0). Indifference     between (h,0) and (h,1) requires m=0.5p(l,0), because advertising enables a firm  to steal consumers who are initially assigned to a low quality opponent.                Indifference between (h,0) and (l,0) requires c=0.5p(h,1), because switching from low quality to high quality (without advertising) prevents consumers who are      initially assigned to the firm from switching to a high quality opponent that         advertises. The fourth strategy (l,1) is clearly inferior to (l,0). The above pair of  equations (together with the condition that the probabilities add up to one) pins  down the equilibrium strategy: p(1,0)=2m, p(h,1)=2c, p(h,0)=1-2c-2m.

Question no. 2

An office party is about to be held, and two workers disagree over the important question of whether music will be played at the event. Worker 1 wants to have music, whereas worker 2 does not want any music. Specifically, if music is played, worker 1 will earn a gross utility v1, whereas worker 2 will experience a gross disutility –v2 . The values v1 and v2 are independently and uniformly drawn from [0,1].

The two workers try to influence the plans for the party. Each worker chooses whether to remain silent or express her opinion. If the worker chooses the latter course of action, she incurs a cost of ¼. Music will be played if and only if agent 1 requests it and agent 2 remains silent.

1.   Describe the interaction between the two workers as a Bayesian game.

2.   Define pure-strategy Nash equilibrium in this game.

3.   Show that a pure-strategy Nash equilibrium must be in cutoff strategies: Each worker i=1,2 expresses her opinion if and only if vi is above some threshold (which may be different for each player).

From a player’s point of view, the opponent’s strategy and distribution over types induce a probability that he remains silent, and that’s all the player cares about. Given this probability, the player’s expected utility is continuous and monotone in his own type, and therefore his best-reply is a cutoff strategy.

4.   Find the game’s pure-strategy Nash equilibrium. What is the probability that music will be played at the party?

Denote the cutoffs of players 1 and 2 by x and y. Then, the probabilities that players 1 and 2 are silent are x and y, respectively. Player 1’s indifference at his cutoff x is  0 = xy – 0.25. Player 2’s indifference at his cutoff y is -0.25 = -y(1-x). This implies x=y=0.5. The equilibrium probability that music will be played is 0.25.

Question no. 3

Consider the following infinitely repeated prisoner’s dilemma, with discount factor δ ∈ (0,1) and payoff matrix:

C     D

C  2,2  - 1,3

D  3,- 1  0,0

1. Describe all terminal histories of this game.

Terminal histories consist of infinite sequences ( ,   , … ) where each   ∈ {(, ), (, ), (, ), (, )}.

2. For each of the following strategies, characterize the set of δ (if any) for which there is a symmetric subgame-perfect equilibrium described below:

a. Play C in the first period. Then play C if in the last period the players both    played C or both played D, and play D if last period one played C and the other played D.

Without loss of generality consider the first agent and use the one-shot deviation principle. Moreover, consider only deviations in the first period because of the   stationary nature of the game.

In any history where the prescribed play is (C,C), the total payoff in the first two periods is  + . If she deviates to D, the play will be (D,C), (D,D), then (C,C)    forever, so in the first periods she gets  . Deviation is not profitable if  +  ≥

 , i.e. for  ≥ .

b. In odd-numbered periods, always play D. In even-numbered periods, play C if and only if both players played C is all previous even-numbered periods.

In odd periods there is no benefit from deviating since (D,D) is a Nash equilibrium of the stage game and there is no reward for deviating.

Consider even periods. In any history where the prescribed play if (C,C) (i.e.

where nobody has deviated in even periods in the past), the total payoff is 2/(1-

δ2). A deviation induces (D,C), then (D,D) forever, with the total payoff of 3.

Thus, she does not deviate when  ≥ /√ .

c. Play C in the first period. After any subsequent history, play the action the opponent played in the previous period.

In any history where the prescribed play is (C, C) forever, she can get the payoff

stream (2, 2, …). By deviating to (D,C), (C,D), (D,C), …, she gets a payoff stream

(3, -1, 3, -1, …). Thus, deviation is not profitable is  +  ≥  − , i.e.  ≥ .

In any history where the prescribed play is (D,C) the expected continuation is     (C,D), (D,C), …, and by deviating she can switch to (C,C) forever. This is exactly

the opposite situation, and she would not want to deviate under the opposite

condition  ≤ .

In any history where the prescribed play is (C,D) the expected continuation is     (D,C), (C,D), … (with a payoff stream -1, 3, -1, 3, …), while by deviating the first

player can switch to (D,D) forever (with payoffs 0). Deviation is not profitable

when − +  ≥  , i.e.  ≥  again.

But in any history where the prescribed play is (D,D) it is again the opposite, so

we get  ≤ . In sum, this SPE exists for  =  only.

3. Are all of the strategies in parts (a)-(c) above sustained in a subgame-perfect          equilibrium when δ is close to one? Provide an intuitive explanation why or why not.

It is evident that strategies in parts (a) and (b) are sustained when δ is close to      one while the strategy in part (c) isn’t. The reason in (c) is that the punishment    phase is not credible: a deviation from, for example, (D,C), takes the play back to the equilibrium path of cooperation, which is preferred by patient agents. This    does not happen in parts (a) and (b) where punishment is always a pair of Nash   strategies of the stage game (so deviating from it is not profitable in that period)  and deviation from punishment does not shorten the punishment phase.

Question no. 4

Consider the following signaling game.

Nature moves first and chooses player 1's type θ which is either A (with probability p)

or B (with probability 1-p).

Player 1 observes Nature's move and chooses an action  1  ∈ {, }.

Player 2 sees 1's move but not 1's type and chooses  2  ∈ {, }.

The payoffs for each θ are given by the following matrices:

When θ =A                   When θ =B

L     R                          L     R

_______

U  3,3  0,0                  U  1,- 1  - 1,1

D  0,0  2,2                  D  - 1,1  1,- 1

1. Draw the tree of this game. Make sure to indicate all information sets.

2. For what values of p does the game have a separating Perfect Bayesian Equilibrium (PBE)? Fully characterize at least one PBE for each of those values (if any).

We focus on the interesting case where p is strictly between 0 and 1 throughout. We show that there are no values of p for which there is a separating PBE.

Suppose player 1 plays U when observing θ=A and D when observing θ=B. Then player 2 (whose beliefs are correct) optimally responds by playing L when           observing U and also L when observing D. But then type-B wants to deviate and play U.

Similarly suppose player 1 plays D when observing θ=A and U when observing θ=B. Then player 2 optimally responds by playing R after D and also R after U. Then type-B wants to deviate and play D.

3. For what values of p does the game have a pooling PBE? Fully characterize at least one PBE for each of those values (if any).

Answer: for all values of p.                                                                                           Consider a pooling equilibrium where player 1 chooses U regardless of θ. Then   in any PBE, (  ∣  ) = . Player 2’s expected payoff after observing U is 3p-(1- p)=4p-1 if she chooses L and 1-p if she chooses R. Thus L is the best response for   ≥  .  and R is the best response for  ≤  .  (with any mixture between them at p=0.4).                                                                                                                         Is there belief (  ∣  ) that supports this equilibrium play? Consider the case     ≥  .  first. Both types of player 1 get their maximum possible payoff in

equilibrium and would never want to deviate. For example the following is an

equilibrium: (  ∣  ) =  , (  ∣  ) =  , player 1 chooses U regardless of the type, player 2 plays L after U and R after D.                                                             Now consider  <  . . Here both types of player 1 get their minimum possible  payoff in equilibrium (0 for type A, -1 for type B) and would not want to deviate only if they both get the same values by deviating. This indeed happens if player

2 responds to D by L. This would be the case for example when (  ∣  ) =  .

We arrive at an equilibrium: (  ∣  ) =  , (  ∣  ) =  , player 1 chooses U regardless of the type, player 2 plays R after U and L after D.