1. RBC Model With Only Capital:

The economy consists of a unit mass of households and a unit mass of firms and lasts two periods. There is no uncertainty.

❼ Households have no initial wealth and receive income Y1  in period 1 and Y2  in

period 2, where Y1  and Y2  are output from firms that they own.  They also own shares of the firms and receive the dividends.  They take the interest rate rt  as

given, and the price of the consumption good is 1. They maximize U (C1 ) + βU (C2 )

where U′  > 0 and U′′  < 0.

❼ Firms produce the consumption good with a technology

Yt  = θt Kt(α)

They enter with capital K1   and invest I1  in period 1, which comes on line in period 2, at a cost of 1 per unit of capital. Capital that is used depreciates at rate δ. There are no adjustment costs, and the firm maximizes the PDV of dividends discounted at the interest rate r .

❼ At the end of period 2, the firms sell the capital they own at a price of 1 per unit

of capital after depreciation. Goods markets clear, so

C1 + I1  = Y1

C2  = Y2 + (1 − δ) K2

(a) Write down the households’ optimization problem and optimality conditions.  If you use results from the consumption section of the course, you may skip straight from the optimization problem to the optimality condition.

(b) Write down the firms’ optimization problem and optimality conditions. If you use results from the investment section of the course, you may skip straight from the optimization problem to the optimality condition.

(c) Write down the equilibrium conditions.

i. What pins down the net real interest rate r − δ?

ii.  Combine the equilibrium conditions into one equation in K2  and plot the two sides of the equation vs. K2  to show equilibrium diagrammatically.

(d) What happens if the economy gets news at time t = 1 that productivity will rise at time t = 2?

(e) Now assume there is a government that finances itself by lump-sum taxes. Assume government spending is valued at

U (Ct ) + V (Gt )

and government spending is included in goods market clearing so that

C1 + I1 + G1  = Y1

C2 + G2  = Y2 + (1 − δ) K2

Write down the government’s present-value budget constraint and the equilibrium conditions. How does the one equation in K2  change?

(f) Use your diagram from part c to show what happens to K2 and r when government spending G1  increases.  How does the change in government spending affect I1 ? Explain intuitively whether government spending crowds out or crowds in private savings and why.

2. RBC Model Without Capital:

Suppose the production function is given as

Yt  = At Nt1一α

where At is the level of technology and Nt  is labor.

Households maximize utility of the following form:

s β s  ╱log (Ct ) − B \

subject to the budget constraint

Ct + St  = wt Nt + (1 + rt )St一1 + Πt (1 − τt )

where Πt  are profits and 0 < τt  < 1 is the tax rate on profits.  Firs maximize profits given by Πt  = Yt − wt Nt  = At Nt1一α − wt Nt . The government uses the tax proceeds to finance some spending and the budget is balanced each period:

Gt  = τt Πt

The goods market clears, so that Ct  + Gt  = Yt  and St  = 0 in equilibrium (there is no capital!).  Both, labor and goods markets are assumed to be competitive.  Denote by gt  = Y(G)  the ratio of government spending to output. Each period, the government decides on gt  and adjusts tax rates to balance the budget.

(a) Write the first-order conditions characterizing the optimal demand for labor by the firm and the optimal choice of labor supply by the household.