1. Resistance to infection of humans by a certain virus is determined by a biallelic locus with alleles G and g.  The allele g provides resistance whilst G does not, but G is dominant over g. 91% of individuals are not resistant.

(a) What is the proportion of g alleles in the population?  What assumption do you

make?                                                                                               [1,1 MARKS]

(b) A father with resistance has both resistant and non-resistant children. What can

you say about the phenotype and genotype of the childrens’ mother?

[2 MARKS]

(c) Another father and mother have | (| 2 1) resistant children (and no non-resistant children).   The father is resistant.  What is the probability that the mother is resistant? Describe all the probability assumptions in your answer.

[4,3 MARKS]

(d) The value of the probability obtained in part (c) when | = 1 is equal to the allele frequency of g. Explain why.                                                              [2 MARKS]

(e) What is the limit of the probability in part (c) as | → N?  Give an argument

leading to this value directly.                                                              [2 MARKS]

2. A new locus with an unusual mapping between genotype and phenotype has been dis- covered. It has three alleles (A, B and C). The homozygotes have distinct phenotypes (A for AA, etc.), whilst the heterozygotes all have another phenotype (H, say), so there are four phenotypes in total.

A sample of N diploids is classified by phenotype leading to NA , NB , NC  and NH people in the respective phenotypes.  The EM algorithm is to be used to attempt to find the maximum likelihood estimates of the proportions p．a．r of the alleles A, B and C, respectively.

(a) What are the ‘missing data’ in the problem?                                       [1 MARK]

(b) Write down  (without proof) expressions for the E-step update and the M-step

update, assuming that the locus is in Hardy–Weinberg equilibrium.

[3,3 MARKS]

(c)  Suggest how you might initialize the parameters at the start of the algorithm.

[1 MARK]

(d) Propose a criterion to determine when to stop iterating the E- and M-steps.

[1 MARK]

(e)  Suggest how you might reassure yourself that the algorithm, once applied to some

data, had not converged merely to a local maximum of the likelihood function.

[1 MARK]

(f) In a particular case, NA  = 32, NB  = 41, NC  = 51, NH  = 126. The EM algorithm

has been implemented and has produced the following estimates of the parameters: pˆ = 0．2824; aˆ = 0．3333; rˆ = 0．3843 (4 decimal places). Perform a likelihood-ratio test to show that there is strong evidence that the locus is not in Hardy–Weinberg equilibrium.                                                                                         [6 MARKS]

(g) By considering the pattern of the observed counts and the expected counts under

the null hypothesis in the test above, propose one explanation for this departure from Hardy–Weinberg equilibrium.                                                       [1 MARK]

3.  Consider a genetic locus evolving by the Wright–Fisher model in a population of N diploid individuals and mutating at a rate μ per generation via the infinite alleles model. Let Gn be the homozygosity (the probability that two alleles chosen at random are the same) in generation |.

(a)  Show, by considering the ways in which two random gene copies can be the same

in generation |, that Gn  satifies the recurrence relation

Gn  = (1 _ μ)2  ╱  + ┌ 1 _ ┐Gn − 1 、．

[4 MARKS]

(b)  Show that, if μ is small so that terms of μ2  and higher can be neglected, and

N is large,  so that terms in μ/N can also be neglected,  the change,  ∆佐,  in heterozygosity between generation | _ 1 and generation | satisfies

∆佐 = _ 佐n − 1 + 2μ(1 _ 佐n − 1 )．

where 佐n − 1  is the heterozygosity in generation | _ 1.                      [3 MARKS]

(c) Interpret the two sources of change of heterozygosity on the right-hand side of the equation in (b).                                                                                   [2 MARKS]