1. It turns out that if (u, v) is an integer solution to Dx2 - 4 = y2 , then

(u1 , v1 ) = / uv(v2 + 1)(v2 + 3), (v2 + 2) ┌  (v2 + 1)(v2 + 3) - 1┐、

is a solution to Dx2 + 1 = y2 .

(a)  Show that (u1 , v1 ) is a solution as claimed.

(b)  Show that (u1 , v1 ) is also a pair of integers.

(c) Find an integer solution (u, v) to 13x2 - 4 = y2 .

(d) Find an integer solution to 13x2 + 1 = y2

a + b

2

a +oab + b

3

G = oab

Here A is the arithmetic mean,  G the geometric mean,  and H the heronian mean.

(a)  Show that A 2 H 2 G with equality if and only if a = b.

(b)  Show that the volume of the frustum of a square pyramid is given

by the product of its height and the Heronian mean of the areas of its two bases. Use that the height of a (complete) pyramid is equal to one third the product of the area of its base and its height.

3.  Show that Euclid’s Postulate V is equivalent to Playfair’s Postulate.

- Playfair’s Postulate: At most one line l′  can be drawn through a point P not on a line l such that l′  is parallel to l.

- Euclid’s Postulate V:

That, if a straight line falling on two straight lines makes the interior angles on the same side less than two right an- gles, the two straight lines, if produced indefinitely, meet on that side on which are the angles less than the two right angles.

- To show two postulates are equivalent, assume one is true, and show the other one follows. Then reverse the process.

- Hint:  Showing Playfair implies PV is harder.  You may use any Euclidean result that does not rely on PV, such as Prop. I.27.

4. Use modern methods to find the area of regular polygon with n equal sides circumscribed about a circle of radius r. Take the limit as n → o to get the area of the circle.

5. According to the Math through the Ages excerpt on conics in the read- ing for March 10,  “Diocles, a contemporary of Apollonius, discovered

that all light rays perpendicular to the directrix [of a parabola] reflect through the focus.” Prove this is true for the parabola y = x2 . You can use the problem statement in the reading (it’s question 4 on p.  270), and the step-by-step hints there, but frankly I did not find it that help- ful. You can use trigonometry and calculus, which are helpful.  You can use that the angle of reflection of the ray is equal to the angle the ray made with the tangent to the parabola at the point where it hit.  Don’t forget that the parabola satisfies x2  = 2py, where p is the distance from focus to directrix. This will help you find the coordinates of the focus.

6. In Lilavati, Bhashkara asks,

Say quickly, Mathematicians, what is the multiplier by which 221 being multiplied and 65 added to the product, the sum divided by 195 becomes exhausted?

He is asking us to solve 221x + 65 = 195y, as  “becomes exhausted” means there is not remainder upon division.

Solve this.   (Hint:  It’s only possible to provide an integer solution because 65 is divisible by gcd(221, 195).)

7. Using the Chinese method to find the square root of 142, 884. (See the Katz reading, p. 119.)

8. The following is from Katz, A History of Mathematics. As Katz asks, please translate the rule into a formula, and explain why the geometric argument is valid.