Hello, dear friend, you can consult us at any time if you have any questions, add WeChat: daixieit

ECMT3150: Assignment 2 (Semester 1, 2022)

[Total: 30 marks (+ bonus)] Bob is a budding investment banker in the pricing team. He proposes the following toy model for a single-period market that consists of a risk-free money account and the stock CBA. The time length of the period is A. Let S0  denote the price of a share of CBA at time 0. At the end of the period (time A), its price either goes up to SA  = S0u or down to SA  = S0 d.  Let q denote the probability that the share price goes up under the risk-neutral probability measure Q.  The risk-free interest rate is r.  Let a = erA .

1.  [2 marks] Write down the risk-neutral probability distribution of SA , the share price at time A. Express the probability mass function in terms of u;d and q .

2.  [3 marks] Show that q = u(a)一(一)d(d).  [Hint: the discounted share price is a martingale under Q.]

3.  [3 marks] Find Var(SA ), the variance of the share price at time A?  Express your answer in terms of a, u and d.

4.  [3 marks] Let u = ea A  and d =  = eA.  Show that Var(SA ) ≈ S0(2)a A2  for small A.  [Hint:  ex  ≈ 1 + x if x is close to zero.  The Önal result is obtained by dropping terms involving higher power of A]

Now Bob wants to build a binomial tree model for the share price of CBA stock traded in an n-period market, where n is a positive integer.  The binomial tree model is given as follows. In period i (i = 1;:::;n), the CBA share price starts at S(i1)A , and it either goes up to S(i1)Au with Q-probability q, or goes down to S(i1)A d with Q-probability 1 ━ q. The

probability q is as given in question 2, and u and d are as given in question 4 (i.e. u = ea A and d =  = eA). Assume that the price changes are independent across all n periods.

5.  [3 marks] Let j denote the number of times by which CBA goes up over n periods. What is the probability distribution of j?  For a given j, show that the CBA share price at the end of period n is given by

SnA  = S0uj dnj :

6.  [2 marks] Consider a European call option written on a share of CBA stock at time 0 with strike price X and time-to-maturity r = nA. Show that its price is given by

C0(bin)  = EQ [ernA max(SnA  X;0)]:                                    (1)

Suppose we are at time 0, and the current CBA share price is S0  = 100. Suppose r = 0:01 and a = 0:4.  Write an R code that simulates 1000 sample paths of CBA share price using the above binomial tree model with the following speciÖcations: n = 21, A = 1=252.1  While simulating the random numbers, set the random seed to be the last 5 digits of your SID.2 [Hint:  you may use rbinom(1000,n,p)to generate 1000 random integers from a binomial distribution with parameters n and p.]

7.  [3 marks] Using your code, compute the time-0 price of an at-the-money European call option written on a share of CBA stock at time 0 with strike price X = S0  = 100 and expiring in 21 days (i.e., r = 21A).

8.  [3 marks] Compute analytically the time-0 price of the same call option using the Black-Scholes formula instead. Compare it with your answer in question 7.

Bob has recently moved to the product design team. He is currently designing an exotic option written on a share of CBA stock at time 0. This option will give the following payo§ as a function of the share price Sr  at time r

  X1   Sr                   for Sr  < X1 ;

g(Sr ) =  1        0               for X1   Sr   X2 ;

1 Sr   X2                    for Sr  > X2 ;

where X1  < X2 . Bob named this exotic option as ìáy-with-Bob,îafter noting that the graph of the payo§ function looks like the wings of an aeroplane.

9.  [3 marks] Using your code, compute the time-0 price of a áy-with-Bob option with strike prices X1  = 90, X2  = 110 and expiring in 21 days (i.e., r = 21A).

10.  [3 marks] Compute analytically the time-0 price of a áy-with-Bob option using the Black-Scholes formula instead. Compare it with your answer in question 9.

11.  [2 marks] What type of investors will be interested in áy-with-Bob?

12.  [Optional question for those who are up to the challenge; bonus marks will be given for correct solutions] Prove mathematically that C0(bin)  as deÖned in question 6 converges to the Black-Scholes call price as A → 0 and n → ~ while r = nA remaining constant.