Lazear and Rosen (1981) JPE

Rank-order tournament within a working environment:  idea - performance affects rank, rank determines payoff.

Assumptions:

❼ not winner-take-all: multiple prizes distributed according to winning rank

❼ margin of winning does not matter;

❼ two-player model

❼ general convex cost C(x) of effort: C- (x) > 0, C-- (x) > 0 - note that this includes the linear cost case

(in which C-- (x) = 0).

❼ distinction between effort and performance: qi  = µi + ∈i , i = 1, 2.

❼ Note:  having additive noise (randomness) is essential here - if performance were a deterministic in- creasing function qi (µi ) of effort, then qi  > qj  兮 µi  > µj .

❼ random luck components ∈i , ∈j  are i.i.d. with mean 0 and variance σ 2

0

εi,εj

μi

μj

qi,qj

❼ Note: it turns out that in the solution the distribution of ∈i s ∈j  is what matters. Recall: Var(∈i ) = E(∈i(2)) s [E(∈i )]2  = E(∈i(2)) = σ 2

E[∈i s ∈j ] = E(∈i ) s E(∈j ) = 0

and

Var[∈i s ∈j ] = E[(∈i s ∈j )2] s E[(∈i s ∈j )]2  = E[∈i(2) s 2∈i ∈j  + ∈j(2)] = = E[∈i(2)] s 2E(∈i )E(∈j ) + E[∈j(2)] = 2σ2

Solution approach: compare two cases

❼ piece rates (each workers is paid their marginal product)

❼ rank-order tournament: relative performance is observed and a fixed wage based on rank is awarded:

w1  > w2 .

❼ in both cases both output and labor markets are assumed competitive with free entry and exit, and

aggregate output is the sum of individual outputs (no complementarities in production, workers are perfect substitutes)

❼ Main result: The efficient solution under piece rates can be replicated with a rank-order tournament With piece rates r:

❼ individual expected utility is rµj  s C(µj )

❼ individual optimal effort solves r = C- (µ* )

❼ the expected profit for the firm is (V s r)2µ*

❼ in competitive markets V = r

❼ therefore V = C- (µ* ) - the social efficiency condition: the marginal social benefit of output µ*  equals

its marginal social cost. This result holds in equilibrium.

With rank-order tournaments r:

❼ given µj , player i’s probability to win with strategy µi  is:

P = Prob(µi + ∈i  > µj  + ∈j ) = Prob(∈j  s ∈i  < µi s µj ) = Prob(x < µi s µj ) = G(µi s µj )

where G(x) is the cumulative distribution function of x = ∈j  s ∈i

❼ Important note on additive noise:  if both players increase their effort by equal amounts, then their

probabilities of success are not affected

❼ Expected utility for player i is:

G(µi s µj )w1 + (1 s G(µi s µj ))w2 s C(µi )

❼ first-order condition (solves for the best response of player i:

G (µ-i s µj )(w1 s w2 ) = C- (µi )

❼ impose symmetric NE in pure strategies:

G (0)(w- 1 s w2 ) = C- (µ** )

❼ Expectet profit for the firm is

2µ** V s (w1 + w2 )

❼ in competitive markets set profit to 0:

w1 + w2

2

❼ What is the expected utility to each worker in equilibrium?

w1 + w2

2

❼ firms understand that this is the equilibrium utility of each worker, so to attract those workers they

will set wages in a way that equilibrium utility is maximized:

V = C- (µ** )

❼ socially efficient outcome µ*  = µ** .

Problem 1

Consider the following salary wage scheme:  if a worker’s productivity q = µ + ∈ is above a predetermined fixed standard , then the worker receives w1 . If her productivity falls below , then she receives w2  < w1 . Denote the cumulative ditribution function of ∈ by G(x) = Prob(∈ ≤ x).  Both  and the two wages are chosen by the firm.  Using the same method as in Lazear and Rosen (1981), show that the pareto efficient outcome V = C (µ ) will be obtained in competitive markets with free entry and exit.  (µ-**  is the average productivity level chosen optimally by the worker and the effort cost function is convex).

Solution:

❼ Suppose that the worker chooses a level of effort (average productivity) µ .

❼ Then her expected payoff is:

Prob(µ + ∈ ≤ )w2 + (1 s Prob(µ + ∈ ≤ ))w1 s C(µ)

G( s µ)w2 + (1 s G( s µ))w1 s C(µ)

❼ The optimal level of effort must solve:

sG- ( s µ)w2 + G- ( s µ)w1  = C- (µ)

or

G- ( s µ )(w* 1 s w2 ) = C- (µ* )

❼ Given the optimal level of µ* , firm profits are equal to:

µ V* s G( s µ )w*2 s [1 s G( s µ )]w* 1

❼ zero profits in competitive markets imply that:

µ V*  = G( s µ* )w2 + [1 s G( s µ )]w* 1

❼ The maximized utility of the worker equals

G( s µ* )w2 + [1 s G( s µ )]w* 1 s C(µ ) = µ V** s C(µ* )

❼ When firms compete for workers they will set wages and  in a way that maximizes this equilibrium

utility:

V = C- (µ* ) 

Problem 2 (Hard)

Consider a modification of the basic model in Lazear and Rosen (1981).  Suppose that there are two types of workers, a and b, such that Ca(-)(µ) < Cb(-)(µ) for any effort level µ. Let 0 < α < 1 be the fraction of type-a workers.  Suppose that each worker knows her own type, but does now know the type of her colleague (we still assume two workers in each firm). Similarly, the firms do not know the type of their workers. All other assumptions carry on from the basic model.  Show that as long as α   and as long as the distribution of ∈i s ∈j  is not uniform, then no matter how firms select w1  and w2 , the rank-order tournament outcome willl be inefficient, i.e.  V  C- (µi(*)) for at least one type of agent i = a or i = b.  Note:  you should assume a symmetric equilibrium in which all type-a workers chose µa(*)  and all type-b workers select µb(*). You can also use wihout proof that the distribution of ∈i  s ∈j  is symmetric.  (Hint:  this is solved in Lazear and Rosen (1981)).

Solution:

❼ Denote by Pj(i)  the probability that a worker of type i wins against a worker of type j . ❼ Then the expected utility of a worker of type i = a, b is:

w2 + (w1 s w2 )[αPa(i) + (1 s α)Pb(i)] s Ci (µi )

❼ The first-order condition (giving us the best response) is:

(w1 s w2 ) ┌α  + (1 s α)┐ = Ci(-)(µi )

❼ Suppose that we have a symmetric NE in which all type-a players choose µa(*)  and all type-b players choose µb(*) .

❼ Then the equilibrium probabilities are:

Pa(a)  = G(µa(*) s µa(*)) = G(0)

Pb(a)  = G(µa(*) s µb(*))

Pb(b)  = G(µb(*) s µb(*)) = G(0)

Pa(b)  = G(µb(*) s µa(*))

❼ The first order conditions in equilibrium become:

(w1 s w2 ) [αG (0) + (1- s α)G (µ-a(*) s µb(*))] = Ca(-)(µa(*))

(w1 s w2 ) [αG (µ- b(*) s µa(*)) + (1 s α)G- (0)] = Cb(-)(µb(*))

❼ Note that G- (x) = g(x), where g(x) is the density function. Also note that by symmetry g(x) = g(sx). ❼ The equations above become:

(w1 s w2 ) [αg(0) + (1 s α)g(µa(*) s µb(*))] = Ca(-)(µa(*))

(w1 s w2 ) [αg(µa(*) s µb(*)) + (1 s α)g(0)] = Cb(-)(µb(*))

❼ If it is posisble to make this equilibrium efficient, then we would have:

V = Ca(-)(µa(*)) = Cb(-)(µb(*))

❼ Given the system above, this would imply that:

[αg(0) + (1 s α)g(µa(*) s µb(*)) = [αg(µa(*) s µb(*)) + (1 s α)g(0)

❼ This is only the case if either α =  , or if g(0) = g(µa(*) s µb(*)). The latter is always true only if g is flat

(i.e. uniform distribution).

❼ Thus, in general we expect that at least one worker type will be overinvesting or underinvesting in

effort in equilibrium.

Problem 3

Consider the following modified version of the rank-order tournament in Lazear and Rosen (1981).

A firm hires four workers:  1,2,3, and 4.  Wages are determined according to the following 2-stage ”direct- elimination” tournament. In round 1 (semi-finals) the workers are divided into pairs, say 1 versus 2, and 3 versus 4. The winner from each pair is the player whose performance is higher in the first round. The losers from the first round are ”eliminated”, while the winners, say i and j, proceed to the final round.  In the second and final round i and j compete against each other and once again the winner is the worker whose performance is higher. The payoffs are as follows: the winner of the second round earns w1 , the loser in the second round earns w2 , and the losers in the first round both earn w3 , where w1  > w2  > w3 .

In each round the performance of every active player i is qi  = µi + ∈i , where µi  is her effort choice in that round and ∈i  is a random effect.  Just like in Lazear and Rosen (1981), ∈i  for i = 1, 2, 3, 4 are i.i.d.  Denote the distribution of ∈i  s ∈j  by G(x) (for any i and j it is the same) and assume that G- (0) > 0.  Also, note that if a player wins the first round, they will draw a new and independent ∈i  in the second round (i.e. the rounds are completely independent).

Assume that the cost of effort (in each round) for each player is quadratic: C(µi ) = µi(2) .

(a)Consider a subgame in round 2 (final round) in which the two players who survived round 1 are i and j . Find the equilibrium effort levels µi(*)  = µj(*)  = µ**  in the unique symmetric Nash Equilibrium in this subgame. The secound round (final) match is equivalent to the game in Lazear and Rosen (1981).  The solution is described by:

G (0)(w- 1 s w2 ) = C (µ-** ) = 2µ**

or

w1 s w2

2

(b) Find the expected payoffs received by both players in the second-round subgame from part (a).  Please denote this expected payoff by w- .

In the symmetric equilibrium both players choose the same strategy µ**  and so each has equal probability of winning . The expected payoff for each player in the second round is then:

 s µ**2  =  s G- (0)2   = w-

(c) Now consider the full game starting in the first round (semi-finals).  Suppose players i and j face each other in one of the two semi-finals, for any i  j. Find the first-round equilibrium effort levels µi(*)  = µj(*)  = µ* consistent with the unique symmetric subgame perfect equilibrium.

Each first-round match is equivalent to the game in Lazear and Rosen (1981) with winning wage w-  and losing wage w3 . The solution is described by:

G (0)(w-- s w3 ) = C (µ ) = 2µ-**

or

w- s w3

2 

(d) Suppose that the firm wants to maximize its expected profits by optimally selecting the three wages w1 , w2 , w3 .  Show that choosing w3  = 0 is always optimal.  (just like in Lazear and Rosen (1981) you can assume that the market value/price of each unit is V). Could this explain the existence of unpaid internships? The firm’s expected profits are:

Eπ = (4µ* + 2µ** )V s w1 s w2 s 2w3

Plug in for µ*  and note that µ**  and w-  do not depend on w3 :

w- s w3

2

It is clear that profits are always decreasing in w3 , hence it will always be optimal for firms to set w3  = 0.  (e)  Suppose that markets are competitive:   (1) firms earn zero profits,  and  (2) competition for workers maximizes expected worker equilibrium payoffs. Are there competitive wages w1  and w2  that can lead to a socially optimal outcome: C- (µ* ) = C- (µ** ) = V? (Hint: you can follow the steps in Lazear and Rosen (1981) to solve this, but be careful - the final equation will involve both µ*  and µ** . When maximizing equilibrium consumer utility you can assume that µ*  and µ**  are independent and set the two partial derivatives to 0). The zero-profit condition for firms can be written as:

µ**                 w1 + w2

2                  4

The expected payoff for workers joining this firm is:

 s µ*2 s  = (µ* + )V s µ*2 s 

(note that in the symmetric SPE there is  chance of becoming the winner and  chance of taking second place (we know third and fourth place will get 0).  Also every worker exerts first round effort, but only on average they exert second-round effort only if they pass the first round (i.e. with probability 1/2).               Maximizing the expected payoff for workers with respect to both µ*  and µ**  yields:

C (µ ) = 2µ-**  = V

C (µ-** ) = 2µ**  = V

Note that since first and second round effort are produced independently, we get to maximize utility with respect to both variables as if they are independent in equilibrium. Indeed our solution shows that marginal cost of effort in each round must equal the marginal social benefit of output produced. However, this solution requires that (µ*  = µ** ). Is this possible in the first place?; i.e. can the wages w1  and w2  be picked in a way

so as to ensure equal effort in both rounds?

That will be the case if:

w- s w3                       w1 s w2

2                          2

or

w-  = w1 s w2

 s G- (0)2   = w1 s w2

 = G- (0)2   + w1 s w2  = f (w1 s w2 )