The density function of a gamma distribution is

f (z; a, A) = Aa za-1 e-Az ,    0 _ z < <

1.  (5 marks) Given that the first two moments of the gamma distribution are

a

_1  = E(Ⅹ) =

A2         ,

show that                                              _1      

_2 _ _1(2) ,

_1(2)      

a =

2.  (5 marks) Show that the method of moment estimates are

Ⅹ

and

 =       Ⅹi(2) _ (Ⅹ)2 .

3.  (5 marks) Show that the log likelihood function of an i.i.d. sample, Ⅹ1 , . . . , Ⅹn from a gamma distribution, is

n                                n

X(a, A) = na log A + (a _ 1)      log Ⅹi _ A      Ⅹi _ n log Γ(a).

i=1                            i=1

4.  (5 marks) Show that the MLE for a, which is denoted by , is the solution of the following equation

n                              Γ/ ()

Γ()

i=1

5.  (5 marks) Show that the MLE for A is

 =  

Ⅹ .

6. The file gamma-arrivals contains gamma-ray data, collected from a satellite launched by NASA in 1991 (http://cossc.gsfc.nasa.gov/).  It consists of the times between arrivals (interarrival times) of 3,935 photons (units are sec- onds). You can load the data using the following commands in R

file1<-paste0("https://raw.githubusercontent.com/ " ,    "mcgillstat/regression/main/data/gamma-arrivals.csv")

#  read  the  csv  data file

dat  <-  read.csv(file=file1,header  =  FALSE)

#  define  the  column  name  of  the  dataset

colnames(dat)  <-  "times"

# for  demonstration, print  the  first  six  rows  of  the  matrix

head(dat)

##    ##  1 ##  2 ##  3 ##  4 ##  5 ##  6

times

38

409

272

99

88

80

(a)  (5 marks) Make a histogram of the interarrival times.   Does it appear

that a gamma distribution would be a plausible model? You can use the following code the generate the histogram.

hist(dat$times)

(b)  (5 marks) Fit the parameters a and A by the method of moments, using

the formula derived in part 2.

Hint: you can compute       Ⅹi(2)  of the data by using