1.     i)  Determine the value of each of the following limits or explain why the limit does not exist.

7x2 + 5      

x→o 16x2 + 13x − 2

x2017 

|x2 − 1|

x→ 1    x − 1

d)  x(l)  ╱ 1 + 、2x

ii)  Find all values a and b (if any) such that the function f : 重 → 重 defined by

f (x) =   0(0) .

is both continuous and differentiable at 0.

iii)  Let y = xsin x. Find dy

iv)  Evaluate the following integrals.

a)  I1  = ）1 2 xe2xdx

b)  I2  = ） dx

v)  Show that the

ex + 1 = 5 cos x

has at least one positive solution.

2.     i)  Let

y = ）0 sin x  dt.

dy

a)  Find

b)  Find all stationary points for y on the interval (0, π).

c)  For each stationary point, determine whether it is a local maximum, a local minimum, or neither.

ii)  A lighthouse with a rotating beacon is located in the ocean 2 kilometers from the shore.  The beacon rotates at a constant rate of 5 revolutions per minute. Assume the shoreline is straight, and let P be the point on the coastline which is closest to the lighthouse. At any time t, let X be the point where the beacon’s beam of light hits the shoreline, and x the distance from X to P .  How fast is x changing when X is 3 kilometers away from P?

iii)  Determine which, if any, of the following improper integrals converge Give reasons for your answers.

a)  ）2 o  dx,

b)  ）1 o  dx.

iv)   a)  Show that

cosh x + sinh x = ex .

b)  Show that

(cosh x + sinh x)3  = cosh(3x) + sinh(3x).

v)  Consider the polar curve

r = 4 − sin θ.

a)  Find all points at which the tangent is horizontal or vertical.

b)  Show that the curve is symmetric under reflection in the y-axis.

c)  Sketch the curve.

3.     i)  Let z = α + 2i and w = 2 − 3i, where α is a real number.

b)  Calculate w , expressing your answer in Cartesian form a + ib.

π ii)  Let z be a complex number with |z| = 2 and Arg(z) =

a)  Write down the polar form of z .

b)  Hence or otherwise evaluate ╱ 1 + √3i、3001 expressing your answer in Cartesian form.

iii)   a)  Find all the sixth roots of unity, expressing your answers in Cartesian form.

b)  Write z6 − 1 as a product of real linear and irreducible real quadratic factors.

iv)   a)  Use De Moivre’s theorem to write sin 3θ as a sum of powers of sin θ .

b)  Hence or otherwise find one solution to the equation

4x3 − 3x +  = 0.

(Your solution must be expressed exactly, and not in decimal form).

v)  The system of linear equations

x   +   y   −    z   =   0

2x   +   y   +   2z   =   0

has infinitely many solutions.

a)  Use Gaussian elimination to find the general solution to the system in terms of a parameter.

b)  Hence, or otherwise, write down the point normal form of the plane with parametric vector equation

x =  │(╱)丫(、) + λ │(╱)1丫(、) + µ │(╱)丫(、) .

4.     i)  Sketch the following region S on the Argand diagram:

S = (z ∈ d :  Im(z) ≤ 1 and  −  ≤  Arg(z) ≤  ）.

ii)  Consider the matrix

A =  ╱  0(1)   │ − √3

0

√2

0

0(√)3、

− 1丫  .

a)  Find det(A).

b)  Use the following Maple output to help you answer the question below.

A q  :>  <<全,à,tqsI人3)A|<à,tqsI人A),àA|<–tqsI人3),à,–全AA;

A :=  ╱   0(1)

│ − √3

0

√2

0

0(√)3、

− 1丫

A qr5/4;

╱  0(1)   │ − √3

0

√2

0

0(√)3、

− 1丫

α) [2 marks] Show that A4  = 4I, giving reasons.

β) [1 mark] Hence express A_1  as a scalar multiple of A3 .

iii)  Let

P =  ╱ 2(1) │2

− 1

1

0

3、

4 丫 ,

Q =  ╱3(2)    0(1) 、

│ 1   − 1丫 .

a)  Find QT P .

b)  Write down a 3 × 3 matrix D such that the rows of DP are 2r1 , r2 and −r3 , where r1 , r2 , r3  are the rows of P .

iv)  Find the shortest distance between the point P with position vector p =  │(╱)  丫(、) and the plane

x + 2y + 3z = 5.

╱b1 、

v)   Let α be a real parameter and b  =     be a vector in 重4 .  Consider

│b4 丫

the following system of linear equations in x1 , x2 , x3 , x4 .

x1     + 2x1     − x1     −

x2                            +   2x4     =   b2

2x2     +   αx3     +   3x4     =   b3

3x2     +   6x3     −   αx4     =   b4

a)  Find all possible values of α such that the system has a unique solu- tion for all choices of b.

b)  Find conditions on b that ensure the system has a solution for all choices of α .

vi)  Given that P and Q are invertible n × n matrices and that Q is symmetric, simplify (PT Q)T (QP)_1 .