1.     i)  Determine the value of each of the following limits or explain why the limit does not exist.

3x2 + 4    

x→r 6x2 - 8x + 3

2

|x - 3|

x→3   x - 3

d)  x(l)  ╱ 1 + 、x

ii)  Evaluate the following integrals:

a)  I1  = ń1 e  x3 ln x dx,

b)  I2  = ń0 4  cos x sin4 x dx.

iii)  Consider the equation ln(1 + x) = cos x.

a)  Show that this equation has at least one positive solution.

b)  Can the equation have any solution for x > 2? Give reasons for your answer.

iv)  Find all values of a and b (if any) such that the function g : 妓 → 妓 given by

g(x) = 

is both continuous and differentiable at 0.

v)  Given that y = (1 - 3x)cos x,  find dy

2.     i)  Let f : 妓 → 妓 be defined by f (x) = 1 + sinh x coshx.

a)  Using the definitions of  sinh x  and  cosh x  show that sinh 2x = 2 sinh x coshx.

b)  State the range of f .

c)  Explain why f has an inverse function g : 妓 → 妓.

d)  Find the value of go (1).

ii)  Determine, with reasons, whether or not the following improper integral

converges.

ń1 r   dx

iii)   a)  State carefully the Mean Value Theorem.

b)  Illustrate the Mean Value Theorem for the function f (x) = x2 on the interval [-a, a + 4] where a > 0.

c)  By applying the Mean Value Theore on the interval  [0, π/2] prove that the function

g(x) = x2 cos(5x) - (x - )2 sin(7x)

has a stationary point.

iv)  Suppose that f : 妓 → 妓 is a continuous function on 妓. Let

g(x) = ń0 x f (u)(x - u) du     and     h(x) = ń0 x  ╱ń0 u f (t) dt、  du.

a)  Show that go (x) = ho (x).

b)  What are the values of g(0) and h(0)?

c)  Prove that g(x) = h(x) for all x e 妓.

3.     i)  Let z = 4 + i and w = 2 - 2i.

a)  Find zw in Cartesian form.

b)  Find w/z in Cartesian form.

c)  Find |w15 |.

d)  Find Arg(4w).

ii)  Consider the line e given by

x =  ）(│) 2(3)  + t ）(│)-1 for t e 妓,

and the plane p with Cartesian equation 3x + 2y + z = 15.  Find the point of intersection of the line e and the plane p .

iii)  The points A, B and C in 妓3  have position vectors

a =  ）(│)   , b =  ）(│) 2-41   and c =  ）(│)   .

_→              _→

a)  Write down the vectors AB and AC .

b)  Hence or otherwise, find the position vector of the point D such that ABCD (in that order) is a parallelogram.

c)  Find a vector equation of the line which passes through C and is _→

parallel to AB .

d)  Write down a parametric vector equation of the plane which passes through the points A, B and C .

e)  Find the Cartesian equation of the plane in part (d).

iv)  Let A be the matrix

A =  │ 2(1) ）  3

-3

-2

-2

1(3) ←

1 {

and let I denote the 3 × 3 identity matrix.

Use the following Maple session to assist you in answering the questions below.

>     with(LinearAlgebra):

>      A  :=  <<1,2,3>|<-3,-2,-2>|<3,1,1>>;

a)  Find A3 - 4A and express it as a scalar multiple of I .

b)  Hence express A6  in terms of A2 , A and I .

c)  Using part (a), or otherwise, find A_1 .

v)  Sketch the following region on an Argand diagram:

S =）z e 仑 : -  < Arg(z - 1 - i) <  」.

vi)  Let u =  ）(│)   and v =  ）(│) 30-1  be two vectors in 妓3 .

a)  Prove that u and v are perpendicular.

b)  State whether or not {u, v, u × v} is an orthonormal set.

4.     i)  Find the three cube roots of -8, expressing your answers in a + ib form.

ii)  By solving an appropriate system of linear equations find a parametric vector equation of the line of intersection of the two planes with Cartesian equations  x + y - 5z = 5  and  x + 2y - 7z = 6.

iii)   Let A =  │  ←

） 3   2   1 {

a)  Calculate the determinant of A.

b)  Is the matrix A invertible? Give reasons.

iv)  Let c be the line in 妓3  with a parametric vector equation ）(│)   =  ）(│) 3  + t ）(│)   ,     t e 妓,

and Q be a point in 妓3  with position vector O(-)Q(→) =  │ 0(1) ←

）  1 {.

a)  Write down a vector v parallel to c and a point P on c. -→

b)  Using P and v from part (a), find the projection of PQ onto v .

c)  Hence determine the point on the line c which is closest to Q.