Hello, dear friend, you can consult us at any time if you have any questions, add WeChat: daixieit

Semester 1 2016

MATH1131

MATHEMATICS 1A

1.     i)  For each of the following, either evaluate the limit or explain why it does not exist.

|x2 - 4|

x2    x - 2

2 sin x + x

xo     3x - 1

ii)  Let

f (x) = 

a)  Show that f (x) is differentiable at x = 0 and find f/ (0).

b)  Determine f/ (x) for all x.

iii)  Let g(x) = x7 + 4x + 2, defined for all real x.

a)  Use the Intermediate Value Theorem to show that g(x) = 0 has at least one real solution.

b)  Show that g has an inverse function with domain 送.

iv)  Let z = 1 + 3i and w = 2 - 4i. Find, in a + ib form:

a)  w + 2z .

b)  z/w .

v)  Let u = -  - i.

a)  Calculate |u| and Arg(u).

b)  Hence, or otherwise, find u30  in its simplest form.

vi)  Let P =  )(╱)      and Q =  2(3)   4(5) .

a)  Evaluate PQT .

b)  What is the size of PQPT ?

 

2.     i)   a)  State the Mean Value Theorem.

b)  By using the Mean Value Theorem show that  sin x < x   for all   x > 0.

 

ii)  Sketch the polar curve

r = 1 - cos θ   for   0  θ < 2π.

iii)  Use logarithmic differentiation to find   if  y = 2sin x .

iv)  The volume of a spherical balloon is increasing at a constant rate of

4 cm3 /min. How fast is the radius increasing when the radius is 12 cm? You are given that a sphere of radius r has volume V = πr3 .

v)  Let the set S in the complex plane be defined by

S =z  φ : -  < Arg(z) <  and Re(z) < 3.

a)  Sketch the set S on a labelled Argand diagram.

b)  Let w be the complex number in S with greatest imaginary part. By considering your sketch or otherwise find w in a + ib form.

vi)  The points A and B in 送3  have position vectors     a =  )(╱)   and b =  )(╱)   .

a)  Find a parametric vector equation of the line l passing through A and B .

b)  Hence find a point P on the line such that the sum of the x, y and z coordinates of P is equal to 62.

 

vii)   Let A =    

 0   2   6  .

a)  Calculate the determinant of A.

b)  Does A have an inverse?

c)  Write down the determinant of 5A.


3.     i)  Sketch, on one set of axes, the graphs of y = cosh x and y = cosh_1 x.

ii)  Find:

a)  ń x2 3 + x3 dx,

ń

iii)  Find    for  y = ń0 x&  et  dt.

 

iv)  Determine which, if any, of the following improper integrals converge (give reasons for your answers):

a)  ń0 o xe_x  dx,

b)  ń1 o  dx.

 

v)  Consider the curve x = t2 , y = t3 , for t ∈ 送.

a)  Sketch the curve for 0 < t < 2.

b)  Find the tangent line to the curve at (1, 1).

vi)  Prove thatx(l)  1 + x  = e3 .

 

4.     i)  Given that p(z) = z4  - 2z3  + 7z2  - 10z + 10 has z = 1 + i as a root, express p(z) as a product of two real quadratic factors.

ii)  A matrix A is defined in the the Maple session below.  Use the Maple below to find (A_1 )17 .

 

>     with(LinearAlgebra):

>      A  :=  <<0,1,0,0>|<0,0,1,0>|<0,0,0,1>|<-1,-1,-1,-1>>;

 0   0   0   -1 

| 1   0   0   -1  (

A  :=                           

| 0   1   0   -1  (

' 0   0   1   -1 '

>      A^2;

 0   0   -1   1 

| 0   0   -1   0  (

|                      (

|                         (

| 1   0   -1   0  (

' 0   1   -1   0 '

>      A^3;

 0   -1   1   0 

| 0   -1   0   1  (

|                      (

|                         (

| 0   -1   0   0  (

' 1   -1   0   0 '

>      A^4;

 -1   1   0   0 

| -1   0   1   0  (

|                      (

|                         (

| -1   0   0   1  (

'                     '

>      A^5;

 1   0   0   0 

| 0   1   0   0  (

|                   (

|                      (

| 0   0   1   0  (

'                  '

iii)  The following system of equations has an infinite number of solutions:

x + 2y + 4z   =   1

x + 3y + 5z   =   2

2x + 5y + 9z   =   3

a)  Find the general solution.

b)  Hence or otherwise find the general solution to the following system of equations.

x + 2y + 4z   =   0

x + 3y + 5z   =   0

2x + 5y + 9z   =   0

iv)  Consider the plane Π with Cartesian equation x + 2y + 9z = 3.

a)  Find a parametric vector equation for the plane Π.

b)  Hence or otherwise find a vector v with a zero z coordinate which is parallel to the plane.

 

v)  Three friends, Donald, Bernie and Hillary entered a specialist coffee chop for some beans.  They bought the same three brands Brazilian, Zinger and Wings in varying quantities:

 

Donald paid $13 in total for 1 kilogram of Brazilian, 2 kilograms of Zinger and 3 kilograms of Wings.

 

Bernie paid $29 in total for 2 kilograms of Brazilian, 2 kilograms of Zinger and 8 kilograms of Wings.

 

Hillary paid $52 in total for 4 kilograms of Brazilian,  10 kilograms of Zinger and 11 kilograms of Wings.

 

Let x be the price per kilogram for the Brazilian brand, y be the price per kilogram for the Zinger brand and z be the price per kilogram for the Wings brand.

a)  Write down a system of equations to describe this situation.

b)  Solve the system using Gaussian elimination and back-substitution to obtain the price per kilogram of each of the three brands of coffee.

 


vi)  Find the area of the parallelogram with vertices A(-2, 1, 3), B(-1, 3, 0), C(1, 3, 1) and D(0, 1, 4).

 

vii)  The plane Π0  has Cartesian equation ax + by + cz = 0 and the plane Π 1 has Cartesian equation ax + by +cz = d. The two planes are parallel and Π0  passes through the origin.

a)  Find a parametric vector equation for the line which passes through the origin and is perpendicular to both planes.

b)  Hence or otherwise find the distance between the two planes in terms of a, b, c and d.