1.  (15 marks)  Answer the questions below.

a.  (3 marks)  Consider a stochastic process  {Xt}t∈[0,T], where Xt   =  cWt ,  c  >  0.   Find all values of c for which {Xt}t∈[0,T]  satisfies the conditional expectation property of a martingale.

b.  (3 marks)  Consider a stochastic process {Xt}t∈[0,T], where Xt  = e(Wt)4 . Is this process adapted and square-integrable? Mathematically justify your answer.

c.  (1 mark)  Consider a stochastic process {Xt}t∈[0,T], where Xt = eα(Wt)2 + (T−t),    α > 0.

For fixed t ∈ [0,T], is Xt  log-normally distributed? Mathematically justify your answer.

d.  (3 marks)  Let {Xt}t∈[0,T]  be a martingale. Assume that the process {tXt}t∈[0,T]  is also a martingale.

Prove or disprove the assertion: Xt = 0 almost surely for all t ∈ [0,T].

e.  (2 marks)  Let A, B, and C be three non-empty disjoint subsets of Ω .  Write out the smallest σ-algebra containing A, B, and C .

f.  (3 marks)  Let T > 0 be fixed. Assume that a random variable ST  satisfies

lnST  = lnS0 + (r − σ 2 /2)T + σWT ,

where S0  > 0, r > 0 and σ > 0 are known constants.

Find E  e −rT (lnST)2    in terms of T, S0 , r and σ .

2.  (12 marks)  The process {Xt}t∈[0,T] is called non-random and simple if there exists a partition Π = {tn}n(N)=0  of [0,T], where

0 = t0  ≤ t2  ≤ ... ≤ tN  = T,

such that, for every n, 0 ≤ n ≤ N , Xtn   is non-random and  

Xt =

Xt0

Xt1

...

XtN − 1

t ∈ [0,t1 ),

t ∈ [t1 ,t2 ),

...

t ∈ [tN−1,tN ].

For t ∈ [tk,tk+1], define the random sum

k−1

It = X Xtn   Wtn+1  − Wtn   + Xtk  (Wt − Wtk) .

a.  (2 marks)  Show that whenever 0 ≤ s < t ≤ T, the increment It  − Is  is independent of

Fs .

b.  (4 marks)  Show that whenever 0 ≤ s  < t  ≤ T, the increment It  − Is  is a normally

c.  (6 marks)  For each of the following process, mathematically justify whether or not it is

a martingale:

(b.1) {It}t∈[0,T],     (b.2) It(2)  t∈[0,T] ,     (b.3) nIt(2) −R (Xu)0(t) 2 du ot∈[0,T] .

Question 3.  (18 marks)  Let {Xt}t∈[0,T]  be a (continuous) stochastic process.  We assume that

both {Xt}t∈[0,T]  and the stochastic process {Xt(2)  − t}t∈[0,T]  are martingales with respect to

Let 0 ≤ s < u ≤ T, where s and u are fixed.  For fixed positive integer n, let Πn  = {ti} , where ti   =  s  + i∆n, ∆n = (u − s)/n, be a partition of the interval [s,u]. For simplicity, we also use the notation ∆Wti     =  Wti+1     −  Wti , i = 0, . . . ,n − 1.

In this question, consider a real-valued function f(x) for which f(x) and the partial derivatives

 , , and  exist and are continuous and bounded for all x ∈ R.  In the below, the notation  (Xt) and  (Xt) means that the partial derivatives are evaluated at Xt .

a.  (6 marks)  Show that

E[f(Xu)|Fs] = f(Xs)   +    E E   (Xti) Xti+1  − Xti    Fti     Fs         +     E E   (Xti) Xti+1  − Xti 2  Fti     Fs

+   RΠn ,                                                                           (1)

where RΠn   is given by

RΠn       =     E   (X  ) ti(∗) Xti+1  − Xti 3  Fs  ,    Xti(∗)   ∈  Xti ,Xti+1     .

Hint: Write

n−1

f (Xu) − f (Xs) =       f Xti+1− f (Xti)  ,

apply conditional expectation.

b.  (6 marks)  Show that the terms in (1) satisfy: for i = 0, . . . ,n − 1,

E E   (Xti ) Xti+1  − Xti    Fti     Fs  E E   (Xti ) Xti+1  − Xti 2  Fti     Fs

= 0,

= E   (Xti) Fs  (ti+1 − ti).

Hint: Use the fact that {Xt}t∈[0,T]  and {Xt(2) − t}t∈[0,T]  are martingales.

c.  (4 marks)  Let

Yn     =    E   (Xti) Fs  (ti+1 − ti),

Y   =   Zs u E   (Xt) Fs  dt.

Show that, as n → ∞ , we have Yn    L2(−→)     Y .

Hint:  First, show that |Yn  − Y |2  → 0 almost surely, and then apply the Dominated

d.  (2 marks)  Using the same technique as in part c, it can be shown that, as n → ∞ ,

RΠn   −→ 0 in L2 . You do not need to prove this fact. Together with previous results in

E[f(Xu)|Fs] = f(Xs) +  Zs u E   (Xt) Fs  dt.                          (2)

Which key formula covered in the course is similar to (2)? Briefly explain the connection between the two formulae (one sentence is enough).