1.  Consider a perpetual American call option V (S) ; which satisÖes the problem

 72 S2   + (r 一 D) S  一 rV = 0;   0 < S < S* ;

limV (S) 二 0;   V (S* ) = S* 一 E;    dV (S* ) = 1:

(1.1)

(1.2)

S  2 0 is the spot price, E  > 0 is the strike, S*   > 0 is the optimal exercise boundary, 7 > 0 is the constant volatility, r > 0 is the constant interest rate and D > 0 is the dividend yield.

a.  Show that for 0 ≤ S ≤ S*  requires a solution given by V (S) = ASa＋

where A is an arbitrary constant and

a+  =   ．(╱) ╱ 1 一  (r 一 D)、+ / ╱1 一  (r 一 D)、2 + ．(、) :

[10 Marks]

b. Using appropriate conditions in (1:2) calculate the option price V (S) and the optimal exercise boundary S* : [12 Marks]

c.  Give a Önancial interpretation of the case when D = 0: [3 Marks]

2.     a. A share currently trades at £60.   A European call option with strike price £ 58 and expiry in three months trades at £3.  The risk-free three month discount rate (continuously compounded and annualised) is 5%.   A European put is o§ered on the market, with strike price £ 58 and expiry in three months, for £ 1.50.  Do any arbitrage opportunities exist? If there is a possible arbitrage, construct a portfolio that will take advantage of it.  [3 Marks]

b.  Consider a put option to sell 200 shares of company PKZ for $25 per share.  How should the option contract be adjusted after a three-for-one stock split?  How is the option price a§ected?   [3 Marks]

c. In the context of classifying exotic options, discuss with examples

i.  strong path dependence.  [3 Marks]

ii.  embedded decisions.  [3 Marks]

iii.  order of an option. [3 Marks]

d. An asset S follows the lognormal random walk

dS = μSdt + 7SdW

and we wish to value a derivative that pays o§ at expiry T an amount which is a function of the path taken by the asset between time zero and expiry.

Assuming that an option value V thus depends on S; t and a quantity

t

I =      f (S;r) dr

0

where f is a speciÖed function and r the risk free interest rate, V (S;I;t) satisÖes the pricing equation

 +  72 S2   + f (S;t)  + rS  一 rV = 0:

For an arithmetic strike Asian call option the payo§ at time T is

max ╱S 一   0 T S (r)dr;0、

and for a put option the payo§ is

max ╱   0 T S (r)dr 一 S;0、:

Write down the corresponding partial di§erential equation for this call option VC (S;I;t) and put option VP (S;I;t) ; and hence verify that

VC (S;I;t) 一 VP (S;I;t)   =   S ╱ 1 一  /1 一 e-r(T -t)、、

t

一 e-r(T -t)       S (r) dr

0

[10 Marks]

3. This is a short essay question on the Implicit Finite Di§erence Method

You are required to price a European call option on a dividend paying stock, numerically, using a forward marching scheme. The interest rate is a function of time, the dividend depends on the stock price and time. Your outline should summarise the following

● PDE, boundary and payo§ conditions [3 Marks]

● Suitable discretisation of the mathematical problem [9 Marks]

● Discussion of an indirect method to solve the resulting matrix inversion problem.  [13 Marks]