ASSIGNMENT 4 (Econ 357)

Problem 1:

There are N (identical) minivan manufacturers in France. Denote by yi  the production of the manufacturer i = 1, .., N. The cost function of each minivan manufacturer is C(yi ) = 10yi .  The inverse demand for the minivans is p(y) = 1000 − y where y is the aggregate supply.   Assume that only manufacturers located in France supply the minivans for the local market and all production decisions are made simultaneously.

1.  First,  find the aggregate level of production and price in two extreme

cases: in the case of monopoly, and in the case of perfect competition.

Solution:

2.  Plot the inverse demand function and mark the two points located on it - one for monopoly and one for perfect competition.

Solution:

3.  Find analytically the level of aggregate production and prices for N = 2 (duopoly). Mark the corresponding value on the graph from 2.

Solution:

There are two firms denoted by 1,2. The profit of firm 1 is

π 1  = (1000 − y1 − y2 )y1 − 10y1 .

The first derivative of π 1  with respect to y1  should be set to 0:

1000 − 2y1 − y2  = 10

so that the best response of firm 1 for any quantity y2  is

990 − y2

2      .

Since the problem is symmetric, the best response function of firm 2 is

990 − y1

2      .

You can plug in the best response of firm 1 into the best response of firm 2  (we are doing this because Nash equilibrium requires that each firm best responds to the best response of the other firm!)  which yields the equilibrium quantity

y2(←)  = 990

Using y2(←)  in the best response function for firm 1 results in

y 1(←)  = 990

Thus, the aggregate quantity produced by both firms is 2 ,  and the corresponding price is

p(y) = 1000 − 990.

4.  Find analytically the level of aggregate production and prices for N = 5.

Assume that the equilibrium is symmetric which means that in equilibrium

all firms produce the same amount of output.  Mark the corresponding

values on the graph from 2.

Solution:

The profit function of firm 1 is:

5

π 1  = (1000 − y1 −      yi )y1 − 10y1 .

i=2

The first order condition for firm 1 yields

y1  = 990 −    i=2 yi

and the best response function is similar for firms 2,..,5.  Notice that we

are focusing on symmetric equilibrium, which is mentioned in the task.

Thus, in equilibrium y1  = .. = y5 . Thus, we can rewrite the best response

function of, say, firm 1 as

990 − 4y1

2

and this yields

y 1(←)  = 990

Thus, the aggregate quantity is 990, and the market price is 1000 − 990.

5.  Describe the differences in market outcomes in 3.  and 4.  What do you

think happens if N increases further and goes to infinity?

Solution:

With higher number of firms the price goes down due to competitive pres-

sure, and the aggregate output increases.  With other words, both price

and quantity converge to the case of perfect competition since due to a

larger number of firms and a competitive pressure, the firms’ market power

decreases.  As the number of firms goes to infinity, the market structure

converges to perfect competition where the market power of each firm is

negligibly small.

Problem 2:

Now, think about the same market (and the same cost structure) as in task

1, and assume N = 2 (duopoly).  However, assume for this task that the firms

choose prices and not quantities. The price decisions are made simultaneously.