ASSIGNMENT 3 (Econ 357)

Problem 1:

Consider the following simultaneous move game with two players, denoted by 1 and 2:

1. Is there  a strategy for  any of the players which  a player would never choose?

Solution: R is strictly dominated by M and therefore it is never chosen as a best response by player 2.

2. If there is a strategy which a player never chooses (it is called, a dominated strategy), and this fact is known among the players, find the equilibria of the game.

Hint:   In  a  mixed  strategy  equilibrium,  think  about  how  probabilities should be assigned if there exists a strategy which a player never chooses.

Solution: There is no pure strategy equilibrium in this game.  To find a Nash equilibrium in mixed strategies notice that player 1 assigns probabil- ity 0 to player 2 choosing R as it is a strictly dominated strategy. Assign probabilities p and q to the strategies T and L.   If 1 plays T then his expected payoff is q, and if 1 plays B then his expected payoff is 2(1 − q). The probability q which makes him indifferent between choosing T and B - and therefore allows him to randomize - solves q = 2(1 − q) such that q  =  .   For player 2, the expected payoffs from playing L and M  are respectively 2(1 − p) and 1, where p =   makes the player 2 indifferent between choosing L and M .   Hence, the mixed strategy equilibrium is (p =  , q =  ).

Problem 2:

Consider the following game: there are two players, an incumbent (denoted I) and a potential entrant (denoted E) to the market.  The entrant has two actions:  it can either enter the market in which the incumbent operates, or not enter.  The incumbent has two actions:  it can either fight the entrant, or accommodate.  The payoffs are as follows:  if E enters and I fights, E gets -1 and I gets 2.  If E does not enter, I gets 10 for any of its two actions, and E gets 0. If E enters and I accommodates, then both get the payoff 5.

1.  Suppose that both players act simultaneously. Depict the game. Find the Nash equilibria (in pure strategies).

Solution: The equilibria are highlighted by a circle:

2.  Now suppose that E  moves first,  and then the I  follows.   Depict this sequential game with the help of a game tree. What is the equilibrium of the game?  (remember from the lecture that we have to apply ”backward

reasoning” - start from the end and move to the start of the game).

Solution: The equilibrium is highlighted by red arrows:

3.  Suppose that before the game starts, I announces:  ”If E enters, than I always fight”. Does it convince E in a simultaneous move game? Does it convince E in the sequential game? Why?

Solution: In a simultaneous move game there is an equilibrium in which I fights and E does not enter.  However, the threat to fight the E is not