ASSIGNMENT 1 (Econ 357)

Problem 1:

Think of a consumer with the preferences U (x1 , x2 ) = 2x1 + x2 .

1.  Are x1   and x2  perfect substitutes or perfect complements for the con- sumer? Derive the demand functions for both goods.

Solution: The goods are perfect substitutes for the consumer. The MRS is .2.   Thus, the consumer only consumes x1  if the budget line is less steep than the indifference curve; if the budget line is more steep than the indifference curve, the consumer only consumes x2 . Thus

p1                                                                      m

p2  > |MRS(x1 , x2 )|  →  x2  = p2 , x1  = 0.

2.  Suppose that m = 5 and fix p1  = 1.  Find the demand curve for x2  as a function of p2 , x2  = f (p2 ), and plot it in the graph with p2  on the vertical axis and x2  on the horizontal axis.

Solution:  With m = 5 and p1   =  1 the price ratio is    =  .   Since |MRS(x1 , x2 )| = 2, we have:

● For p2  >  we have   < |MRS(x1 , x2 )| and therefore x1  = m and x2  = 0.

● For p2  <  we have  > |MRS(x1 , x2 )| and therefore x2  =  and x1  = 0.

● For p2  =  we have  = |MRS(x1 , x2 )| and therefore anywhere on the budget line the consumption is optimal.

3. Is x2  an ordinary good? Why? Fix p1  = p2  = 1. How much of x1  and x2 would the consumer demand at those prices?

(a) In the coordinate system with x1  on the horizontal axis and m on the vertical axis, draw the function x1 (m) - it means a graph which shows how x1  changes with the change of m.

(b) In the coordinate system with x2  on the horizontal axis and m on the vertical axis, draw the function x2 (m) - it means a graph which shows how x2  changes with the change of m.

Solution:  The good x2  is ordinary since the demand does not increase with higher p2 .  For p1  = p2  = 1 we know that   < |MRS(x1 , x2 )| and so x1  = , x2  = 0. The corresponding graphs are:

Problem 2:

Ann is initially endowed with 30 bananas and 30 apples.

1.  Assume p1  = p2  = 3. Write down Ann’s budget constraint and plot it in the graph.  Show all bundles on the budget line for which Ann is buying the apples and selling bananas, and all bundles for which Ann is selling the apples and buying bananas.

Solution:  Denote by (ω1 , ω2 ) the endowment of Ann.  het budget con- straint is

p1 x1 + p2 x2  < p1 ω 1 + p2 ω2

which implies

3x1 + 3x2  < 180

2.  Assume U (x1 , x2 ) = x1 x2  where x1  denotes bananas and x2  denotes ap- ples. Find the indifference curve which passes through Ann’s endowment analytically (it means, calculate it) and find the MRS. Plot the indifference curve and the budget line in the corresponding diagram.

Solution: The MRS is . . At the endowment point x1  = ω 1  = 30 and x1  = ω2  = 30 the MRS is -1. The corresponding utility is U (30, 30) = 900. Thus, the indifference curve is characterized by x1 x2  = 900 or x2  = 

3.  Now assume p2  = 2 and find the optimal choices of Ann for p1  = 1, p1  = 2, p1   = 3.   Determine the corresponding net demands for bananas and apples.

Solution: The demand functions are

x1 (p1 , p2 , m) = 2p1 , x2 (p1 , p2 , m) = 2p2

For p = 2 we calculate the follwoing cases:

(a) p1  = 1, m = 30 + 30 · 2 = 90.  Thus, x1  =  = 45, x2  =  = 22.5. The net demand for x1 :  45 . 30 = 15; the net demand for x2  is 0 since x2  . ω2   = 22.5 . 30  < 0.   (you can argue with positive net supply here).

(b) p1  = 2, m = 30 · 2+30 · 2 = 120. Thus, x1  =  = 30, x2  =  = 30. The net demand for x1 :  30 . 30 = 0; the net demand for x2  is 0 as well.

(c) p1  = 3, m = 30 · 3 + 30 · 2 = 150.  Thus, x1  =  = 25, x2  =  = 37.5.  The net demand for x1  is 0:  25 . 30 < 0; the net demand for x2  is 37.5 . 30 = 7.5.

4. Is Ann buying or selling bananas under those 3 scenarios?  Explain her exchange strategy comparing the MRS at her endowment point with the relative price.

Solution: The |MRS| at the endowment point is | . 1| = 1.

(a)  At p1  = 1, the price ratio is .  Since |MRS| = 1 >  = , Ann is better off buying bananas and selling apples.

(b)  At p1  = 2, the price ratio is 1.  Since |MRS| = 1 = , Ann cannot increase her utility when buying or selling her goods.

(c)  At p1  = 3, the price ratio is .  Since |MRS| = 1 <  = , Ann is better off selling bananas and buying apples.

Problem 3:

You need to decide how many hours should Bob spend at work.   His total available time is 24h and he has no income rather than salary. His current wage is $100 per hour and he only consumes apples which cost $5 per pound.

1. What is Bob’s real wage (wage rate in terms of apples)?

Solution:  Bob’s real wage in terms of apples is 20 pounds of apples per hour.

2.  Show Bob’s budget set on the graph.

Solution: Notice that the relevant space is R . C .