Problem 1 (10pts)

Suppose that a discrete-time linear system has output y[n] for the given input x[n] as shown in Figure 1andFigure 2.

Figure 1

Figure 2

Find 4 [] given 4 [] shown below. Show your work (hint: superposition)

4 []  1

- 1

b)   Determine whether the system is time-invariant. (Mathematical derivation for positive proof or counter example for a negative one)

Problem 2 (10pts)

For each part of the problem find the expression for and graph () if ℎ() =  − ().

a)    1 () = ()

b)    2 () =

2

1                   3

Problem 3 (10pts)

Discrete-time LTI systems. Consider a signal 1 [] = [] − [ − 4] and an LTI system T

with impulse response ℎ[] =  []

Answer the following questions about the system T, as described by ℎ[] and justify your answer for each:

a)   Memoryless?

b)   Causal?

c)   Stable?

Problem 4 (20pts)

Continuous-time Fourier Series and LTI systems

a)   Consider an input signal () = 5 +  4 cos(3) cos(2) +  sin(2) +   3

Find the Fourier Series representation (fundamental frequency   and coefficients ) of () such that

() =       

 = −∞

b)  Find () given   and the FS coefficients  that

  = 6     = 4    = 1.7   = −2     = 3   5  = −3 Be sure to show () as sinusoid when possible

Bonus Problem (5pts)

Find the Fourier series coefficients for each of the following signals.

a)   () = [1 + cos()] [sin(6 − )]

b)   () = 5( − 3) (() is from part a)