Hello, dear friend, you can consult us at any time if you have any questions, add WeChat: daixieit

STATS 723 - Stochastic methods in finance - 2022

Assignment 3

1.  Let (Wt )0≤t≤T  be a Brownian motion under a probability measure P , and define another probability measure Q by

  =  exp │  │T - W Wt2  dt、、 .

(a)  Show that under Q, (Wt ) is an Ornstein-Uhlenbeck process for 0 s t s T, and find an explicit expression (in terms of an integral) for its internal Brownian motion. )）/≠( This a Cameron-Martin-Girsanov change of probability.

(b)  The expression for  suggests that outcomes where Wt  stays close to zero for 0 s t s T should be more likely under Q than under P .  With this in mind, consider the event A = ≥}Wt } s a for 0 s t s T{, and show that

Q(A)  ≤  e(T —a2 T —a2 )/2P (A).

(c)  The tendency of Brownian motion to wander suggests that for large T, P (A) should be small.  Use the result of (b) to establish that for T ≤  ,

P ╱ }Wt } s  for 0 s t s T←  s  e —T/4 .

2.  The price of a barrel of oil is $100 today; in one year’s time it could be either $70 or $140. A floor contract at $90 is one that compensates the holder for any fall in price below $90: if the oil price ends up being $70, it will pay the holder $20, otherwise it has no value.  (A useful contract to have, if one happens to be an oil producer looking for some certainty of revenue.) The risk-free interest rate is zero.

(a)  Find a replicating strategy for the floor contract.

(b) If I want to negotiate a floor contract today, how much should I expect to pay for it?

(c)  Suppose we are able to negotiate the sale of floor contracts to a client for an up-front payment of $12. Explain how to ensure that we profit from this transaction, without exposing ourselves to oil price risk.

(d)  This model of the oil price has an equivalent martingale measure; find this measure.

3.  The share prices of two companies, Alpha Corp.   and Betaco, over a 24-week period are modelled by the following discrete-time process. There are four equally likely scenarios ω 1 ,ω2 , ω3 , and ω4 .

A risk-free bank account, which pays no interest, is also available.

(a)  Draw a scenario tree illustrating the model.

(b)  Find a self-financing trading strategy which is an arbitrage opportunity.

(c)  Find a self-financing trading strategy φ with Vφ (0) = 100, P (Vφ (2) ≤ 95) = 1, and P (Vφ (2) > 110) > 0. )）/≠( There are plenty of solutions; intelligent guesswork will get you a long way towards finding one of them.

(d)  Show that arbitrage opportunities must exist, by demonstrating the non-existence of an equivalent mar- tingale measure.

(e) We can make the model arbitrage-free by changing the final Alpha price under scenario ω2  from 12.50 to another value. Find that value, and the resulting equivalent martingale measure.