1.  Use the following probability distribution to answer the questions:

(a)  Compute E[y] 三 6y  and V[塞] 三 ux(2) .

(b)  Compute C[塞. y] 三 uxy .

(c)  Compute E[yI塞] and V[yI塞]. Is homoskedasticity a reasonable assumption for this population?

(d)  Compute the best linear predictor of y given 塞: L[yI塞] 三 a + 8塞.        (e)  Are E[yI塞] and L[yI塞] identical for this population? Why or why not?

(f)  Suppose you have a sample ((yi . 塞i )} from the above population. Discuss the competing merits

of the following estimators for P[y = 1I塞]

i. the linear probability model (LPM);

ii. the logit model;

iii.  linear discriminant analysis (LDA).

2.  A demand model (“Model 1”) for residential natural gas consumption is given by git(G)  = 80 + 81pit(G) + 82pit(O) + 83pit(E)  + 84 hddit + 85 yit + uit

where

git(G)   is the log of consumption of natural gas in state i in year t (i.e., git(G)  = log ○it(G)); pit(G)   is the log price of natural gas in state i in year t;

pit(O)   is the log price of fuel oil in state i in year t;

pit(E)   is the log price of electricity in state i in year t;

hddit   is the log count of “heating degree days” in state i in year t;

yit   is log real per capita personal income in state i in year t;

The data file natgas.rda (on Canvas) covers six US states (CA, FL, MI, NY, TX, and UT) and 23 years (1967-1989). The following questions refer to this data.

(a)  Estimate Model 1 using OLS. What do the estimation results say about the demand relationship

between the three heating fuels (natural gas, fuel oil, electricity)?

(b) Is the demand curve for natural gas downward sloping?  Formulate an appropriate test, being

specific about the size of the test, the null hypothesis H0   and the alternative hypothesis H1 . Perform the test and report the results appropriately.

(c)  Consider a second model (“Model 2”) in which demand varies by state according to a state-specific unobserved effect ci , giving

git(G)  = 80 + ci + 81pit(G) + 82pit(O) + 83pit(E)  + 84 hddit + 85 yit + uit 口

Estimate Model 2 using OLS and report any differences you observe in the estimated coefficients on pG , pO  and pE  between Model 2 and Model 1.

(d)  Are there state-specific demand effects? Formulate an appropriate test, again being specific about the size of the test, the null hypothesis and the alternative hypothesis. Perform the test and report the results appropriately.

(e)  Discuss any difference in the regression R2  between Model 1 and Model 2. Is that same difference reflected in the “adjusted R2 ”?

(f)  A commenter on your Model 2 observes that year-specific demand effects may also be present and

suggests Model 3, given by

git(G)  = 80 + ci + δt + 81pit(G) + 82pit(O) + 83pit(E)  + 84 hddit + 85 yit + uit

where δt  is a year-specific unobserved effect.  Estimate Model 3 by OLS and comment on any differences in the regression fit or estimated coefficients on pG , pO  and pE  between Model 3 and Model 2. Are the coefficient estimates plausible? Can the year-specific demand effects be removed from Model 3?

(g)  Perform 5-fold cross validation on Models 1, 2 and 3. Which model has the lowest training error?

Which model has the lowest test error? Which model do you prefer (and on what basis)?  Note: Due  to  the  large number of indicator variables,  some partitions into  training  and validation sets make  prediction from  the  validation  set  impossible.   If that  happens,  simply  restart  CV with  a different training/validation partition.