Instructions:

(a) All questions should be attempted. Marks obtained in all solutions will count.

(b) Work neatly.  Points may be deducted for messy work.  It is strongly recommended that you type your solutions (LATEXor Word).

(c) Your answers must be carefully but succinctly explained, using complete sentences. A correct but unjustified answer may attract only half-marks. An incorrect and unjustified answer will probably be worth zero.

(d) When explaining your answers you may make reference to the results in the printed notes (but you must be precise, providing the theorem or page number).

Question 1. The figure shows the snub cube, S right, and its net (the solid cut up and folded flat), left.

Let G = Isom+ {4, 3} be the group of rotational symmetries of the cube, which also acts as a group of symmetries on S.

If T is the set of all triangular faces of S, how many G-orbits are there in T, and what is the size of each orbit?

If E is the set of all edges of S, how many G-orbits are there in E, and what is the size of each orbit?

Show that the group of symmetries of S is equal to G.

10 marks

Question  2.  Let p and q be prime numbers and let {pq} be the regular polygon with pq sides.  How many inequivalent colourings of the edges of {pq} are there with n colours if two colourings are regarded as equivalent if they are the same up to a rotation of {pq}?

10 marks

Question 3. Let l be a geodesic in the hyperbolic plane Ⅲ2  and let p be a point not on l.  The distance from p to l is by definition the length of the geodesic segment pq which cuts l at 90o  (see figure).

a

(a) If l is a vertical straight line in the half-space model H2, find the equation of the set

C = {p e H2  : d(p, l) = r}

where r > 0 is a fixed number.

(b) Continuing, if H2  is mapped isometrically to 盖2, the ball model of Ⅲ2, in such a way that l maps to a diameter, what is the image of C?  [A clear description of C is all that is required:  its equation is not needed.]

(c) With the same notation, let m be one of the parallels to l through p. If the angle between m and pq at p is α (see diagram again) and d(p, q) = d, show that

tan  = e-G .

10 marks

Question 4.

(a) Let l  be a geodesic in Ⅲ2   and let p and q  be points on  l.   The translation f of p to q is the isometry of Ⅲ2  with the properties that f(p) = q ,  f(q)  p and f(l) = l.   Describe f  as a product of reflections, and write f explicitly as a M¨obius transformation in the case that l is a vertical line in the half-space model H2  of the hyperbolic plane.

(b) Let ABC be a triangle in Ⅲ2 . Let f1 be the translation of A to B , f2 the translation of B to C and f3 the translation of C to A. Describe the composite isometry f3 f2 f1 .

10 marks

Question 5. In euclidean 3-space E3, let A0  = (1, 1, 1), A1  = (1, 0, 1) and A2   =  (0, 0, 1).   Thus A0 ,  A1  and A2  are respectively a vertex,  an edge- midpoint and the centre of a face of the standard cube  (with centre at O = (0, 0, 0)). Let R0 , R1 , R2 be the anti-clockwise rotations with axes OA0 , OA1 and OA2 respectively and through angles 2π/3, π and π/2 respectively. (These rotations all map the cube to itself.)

(a) Show that R2R1R0  is the identity.

(b) Find quaternions q0 , q1 , q2  such that x |→ qjxq-j1  is the rotation Rj .

(c) Hence find quaternions a, b, c such that    a2 = b3 = c4 = abc = _1.

(d) Give a precise description of the set of all quaternions which com- mute with the quaternion b from part (c).

10 marks

Answer  1.  There are two types of triangular face, conveniently coloured dark grey and light grey in the picture.  The dark ones are characterised as having no edge in common with a square face, whereas the other have precisely one edge in common. Denote these sets of triangles respectively by T0  and T1.  The triangles of T0  are in 1:1 correspondence with the vertices of the cube, so |T0| = 8.

The triangles of T1 are in 1:1 correspondence with the edges of the square faces, of which there are 4 × 6, so |T1| = 24.

Since G acts transitively on the set of vertices of the (ordinary) cube, T0 is a G-orbit.   Similarly T1  is also a G-orbit.   One can argue that G acts transitively on the set of edges of the ordinary cube, which means that we can map any adjacent pair of triangles of T1  to any other such pair.  Then a half-turn about the centre mid-point of the central edge of this adjacent pair will switch the triangles if necessary.

So there are two G orbits in T, of cardinality 8 and 24.

There are three types of edges apparent for the picture:  The set E0  of edges of the dark triangular faces, |E0| = 3 × 8 = 24.  The set E1  of edges common to a pair of light triangles,  |E1| = 12.  And finally the set E2  of edges of the square faces, |E2| = 4 × 6 = 24.

By similar arguments each of these sets is a G-orbit.

This is a simple application of the orbit-stabiliser theorem: using the set of dark triangular faces, for example, the orbit is T0, of cardinality 8 and the stabiliser is C3, so the order of the symmetry group is 24.  Since G has this order, G must be the full symmetry group.

[We haven’t covered polyhedra like the snub cube.   This is sup- posed to be a test of what orbits look like in a slightly unfamiliar situation.]

Answer 2. Use ‘Burnside’s Lemma’ (available in lecture notes)

Number of orbits =        |Xd |.

The number of colourings is npa , because you can choose any of the n colours for each for each of the pq edges.

Let g be a generator of Cpa  (e.g. rotation through angle 2π/pq). Then gk has order pq if k is not a multiple of p or not a multiple of q. Thus there are (p _ 1)(q _ 1) such elements.  The non-identity elements {gpk } are (q _ 1) in number and are all of order q.  Similarly for the elements {gak }.  [These statements use that p and q are prime.]

If g is order pq the only colourings fixed by it are the ones where all edges are the same colour. There are n such colourings. So the count on the RHS of Burnside’s Lemma from these elements is n(p _ 1)(q _ 1).

If g is of order q then the edges are partitioned into p sets of q edges. The q edges in any one of these sets must be coloured the same, so the number of invariant colourings for such elements is np , and the contribution to the RHS is (q _ 1)np . For the elements of order p, there is a contribution (p _ 1)na . (For example for the hexagon, the elements of order 2 pair up the sides, and each pair must be coloured the same.)

So the total number of colourings is

N   =    (npa + (p _ 1)na + (q _ 1)np + (p _ 1)(q _ 1)n)

npa _ np _ na + n      np _ n      na _ n

pq                      p              q

(Written this way, each term is an integer, by Fermat’s little theorem, but this is not required.)

[Seen similar.]

Answer 3.

(a) Take l = {x = 0}. The orthogonal geodesics are all of the form γ(s) = a tanh s + ai sech s,  (_o < s < o),

where a > 0, s is arc-length, and the foot of the perpendicular to l is in this case z = ia (when s = 0). So the point

a tanh s + ia sech s

is distance |s| from l for every a > 0. Thus for fixed r > 0, C = {z = a(土 tanh r + i sech r) : a > 0}

which is a pair of straight lines in H2  with slopes 土1/ sinh r .

(b) The isometry H2 → 盖2 maps circles and straight lines to circles and straight lines, so it maps C to a pair of circular arcs which meet |w| = 1 at the endpoints of the diameter which is the image of l. More concretely, using

z _ i

w =

to map to the disc, l is mapped to the diameter (_1, 1), and C is mapped to a pair of arcs A+ U A- , symmetrical about the real axis in the w-plane. Because the map is conformal, the angle between C and l will be the same as the angle between A土  and the real axis.

(c) We may assume that l is the imaginary axis in H2 , pq is part of the unit circle and m is another vertical line x = a.  To be definite, suppose that a > 0 Then p corresponds to the point eie  by a little trigonometry of the circle if the angle between pq and m is α Then

cos α + i sin α = tanh d + i sech d

where d is the length of pq (using the parameterisation of the unit circle by arclength again.  So tan α = 1/ sinh d, and if t = tan(α/2) (the t-substitution),

1 _ t2                              eG _ e-G

2t                             2

from which t = e-G  as required.

[All unseen.  Part (c) ‘the angle of parallelism’ was not explicitly mentioned in lectures. The given parameterisation of semicircular geodesics by arclength is in the notes. Parts (a) and (b) are about equidistant lines, which I didn’t cover explicitly in lectures.]

Answer 4.

(a) The isometry f can be defined as r2r1 , where r1  is reflection in the geodesic through p cutting l at 90o and r2 is reflection in the geodesic through the midpoint of pq, again cutting l at 90o.  This f has the required properties: any reflection maps an orthogonal geodesic into itself: so r1 (l) = l, r2 (l) = l since l is orthogonal to both mirrors.

If l is the imaginary axis, p = ai, q = bi, then z |→ (b/a)z is the required isometry.

(b) Let R = f3 f2 f1 .  By definition R(A) = A, so R is a direct isometry which fixes A, and so it is a hyperbolic rotation.  To determine the angle, consider the effect on the vector X at A tangent to AB. Let Y be the image of X by f1 , let Z be the image of Y under f2  and let X/  be the image of Z under f3 .  The angle is (up to sign) the angular deficit of the triangle ABC.  The argument is based on the diagram:

The point is that the angle between the vector and the geodesic it is being transported along remains fixed.

[Unseen, though the classification and properties of isometries of Ⅲ2   (elliptic/parabolic/hyperbolic)  was  covered  in  lectures.   The analogue of (b) in spherical geometry was set as a homework ques- tion.]

Answer 5.        (a) Let s0  be reflection in span{A1, A2 },  s1  be reflection

in span{A0, A2 } and s2  be reflection in span{A0, A1 }.  Then with a little care (to get the order of the reflections right) we see that R0  = s2 s1 , R1  = s0 s2  and R2  = s1 s0.  Hence R2R1R0  = 1.  [Check: to see that R0  = s2 s1  the face-centre A2  is on the mirror plane for s1 .  So s2 s1 (A2) = s2 (A2) = (1, 0, 0) the face-centre of an adjacent face of the cube, and it is an anticlockwise 2π/3 rotation about OA0 with the usual right-hand conventions that maps (0 , 0, 1) to (1, 0, 0).]

(b) If n is a unit vector in E3 identified with a unit imaginary quaternion, then q = ean  = cos θ + n sin θ represents the anticlockwise rotation