Hello, dear friend, you can consult us at any time if you have any questions, add WeChat: daixieit

MATH  0052  GROUPS  AND  GEOMETRY  FINAL  ONLINE

Question 2.

(a) Let P be a regular heptagon (seven sides).  What is the symmetry group of P (including reflections)?

5 marks

(b) A two-colouring of P is a colouring of each edge of P either yellow or blue.  Two two-colourings are called equivalent if one is obtained from the other by a symmetry of P .  How many inequivalent two- colourings of P are there?

5 marks

Question 3.

(a) In two dimensions a glide reflection in the direction of the x-axis is the composite of a translation in the direction of the x-axis and a reflection in the x-axis. Express such a glide reflection as a product of reflections.

5 marks

(b) Is it true that every rotation of R4  has an axis? Justify your answer with a proof or a counterexample.

5 marks

Question 4.

(a) Let p and q be integers > 2.  Let T be a triangle with angles π/2, π/p and π/q. For which values of p and q is T spherical, euclidean, or hyperbolic?

5 marks

(b) Suppose that a finite set of spherical line-segments divide the surface of S2  into N congruent equilateral triangles and that the angle α at any vertex of any triangle lies in (0, π). Classify all such tesselations of S2  by equilateral triangles, giving the values of N and α in each case.

10 marks

Question 5. Show that if ρ < 1, the set

|z - i|

is a hyperbolic circle

{z e H : d扛 (z, i) = R}

(where d扛  is hyperbolic distance in the upper half-space model of the hy- perbolic plane). Calculate R in terms of ρ .

5 marks

Question 6. Consider the action of the group PSL(2, C) on the Riemann sphere S2  by M¨obius transformations. Suppose that C c S2  is a circle and that g e PSL(2, C) maps C to itself, g(C) = C.  Show that the trace of g must be real or imaginary.

10 marks

Question 7.

(a) Let R1 and R2 be reflections in Rn in orthogonal mirrors Π 1 and Π2 , which you may take to contain the origin. Show that R1R2 = R2R1 . Explain why this is a half-turn about the axis Π 1 n Π2 .

5 marks

(b) In R3, describe, as precisely as you can, the composite of two half- turns about distinct axes, distinguishing carefully the different pos- sible cases.  [If the two axes do not meet and are not parallel, you may find it helpful to make use of the unique line which meets both axes at 90О .]

10 marks

In answering this question, bear in mind that the composite of two half- turns must be an isometry.  If, for example, this isometry comes out to be a rotation, when you ‘describe’ it you will need to give its axis and angle. Similar information needs to be given for other types of isometries.

One approach is to write the half-turns as products of reflections in ap- propriately chosen pairs of orthgonal planes—but you may use any method.

TOTAL: 70 marks