1.  (8 points) The price of an asset changes from 195.35 $ to 209.05 $ during a period of 762 days.

(a)  Give the simple net return and the log return for the period.

(b)  Give the annualized simple net return.

2.  (10 points) The skewness of a sample of 240 monthly returns is -0.03 and the kurtosis is 4.41. Under the null hypothesis H0  that the returns are iid Gaussian, the distribution of the Jarque- Bera test statistic follows a chi-squared distribution with two degrees of freedom,

JB =  +  ~ x2 (2).

(a) Is the test with the Jarque-Bera statistic one-sided or two-sided? Justify. (b)  Test H0  with a size of 5 % using the Jarque-Bera test statistic.

Table 1: Some values of the distribution function of a law x2 (2).

3.  (26 points) Consider the following ARMA(2,1) process, where et  is Gaussian white noise: γt = 1.3 γt − 1 - 0.4 γt −2 + et + 0.6 et − 1 ,        et ~ N(0, 0.2).

(a)  Show that one of the two roots of the characteristic polynomial is 2 and find the other. Is

the process stationary? Justify.

(b) Find the values w1  and w2  of the MA(o) expansion of the process:

γt = et + w1 et − 1 + w2 et −2 + w3 et −3 + . . .

(c)  Give the system of equations that allows to determine the autocovariance coefficients 80 , 81  and 82  of the process and explain how to obtain the coefficients 8l  for d = 3, 4, . . .  as a function of the coefficients 8k , k = 1, . . . , d - 1.

4.  (20 points) You consider an ARMA(1,2) model,

γt = o0 + o1 γt − 1 + et - 91et − 1 - 92et −2 ,        et ~ D(0, 72 ),

where et  is a white noise process, with the objective of predicting the return of a financial asset. You get the following point estimates for the fitted model:

0 = 0.65

1 = 0.55

9ˆ1 = -0.40

9ˆ2 = 0.25

 = 1.25

(a)  Compute the point estimate  of the unconditional mean u 三 E(γt).

(b)  Suppose that the value of the last two observations is γn   = 2.15 and γn − 1   = 3.95 and

that the estimated value of the corresponding innovations is n  = 2.51 and n − 1  = -0.68. Calculate the point predictions γˆn(1) and γˆn(2) as well as their standard deviation.

(c)  The table below contains four point predictions γˆk − 1 (1) obtained with an ARMA(1,2) model and an AR(1) model in a prediction exercise with moving window. The observed values of γt  are listed on the last line.  Propose a selection criterion and indicate which of the two models is favored according to those prediction results.

Table 2: Results of the prediction exercise.

5.  (16 points) Consider an economy with only two risky assets and one risk-free asset. The number of shares, the price and the expected value and standard deviation of the return of the risky assets are available in the table below.  The correlation coefficient between the two risky assets is 1/3. Suppose the Sharpe-Lintner version of the CAPM is satisfied.

Table 3: Description of the market for an economy with two risky assets.

(a)  Calculate the expected return and the standard deviation of the market portfolio.      (b)  Calculate the market beta of asset A. Reminder:  Cov(X, Y) = E[(X - uX )(Y - uY )].

(c)  Calculate the return of the risk-free asset and construct the capital market line.

(d)  Calculate the weight of each asset for an efficient portfolio with a targeted risk 7p = 5.

6.  (20 points) You want to build an investment portfolio and decide to use the following version of

the CAPM

model,

Ri,t = γf,t + βi(Rm,t - γf,t) + ei,t ,

ei,t ~iid N(0, 7i ),