1. (a) Show that eα  ≥ 1 + x for all real values of x.

(b) Assuming that a year has 365 days, show that in a group of 23 people, the probability that at least two people have the same birthday is greater than 1/2.  [Hint: first calculate the probabil- ity that in a group of n people, no two share the same birthday using (a).]

2. Prove that

〇  = 一  tanh³ …  ╱ ← ,

where ∆ = b〇  一 4ac > 0.

3. Prove that for |x| < 1,

兰   k〇x亿 ³ …  =   1 + x  

亿2←

4. Let X be a random variable with geometric distribution having pa- rameter p. That is, P (X = k) = p(1 一 p)亿 ³ … . Show that

E(X〇 ) =

2 一 p

p〇    .

5. Let X be a random variable with the uniform distribution on the interval [a, b]. That is, X has density function fx  given by

fx (x) = ,0(1)/(b 一 

Show that X has mean (a + b)/2 and variance (b 一 a)〇 /12.

6. If X is a random variable with density function fx (y) = e³g/9 ,        y > 0,

then X has variance θ〇 .