1. The matrix below presents a family of games of complete information ó one game for each value of the parameter c 2 0.  In each cell, Aliceís payo§ is listed Örst.  For every c 2 0, Önd all Nash equilibria. Hint: if c < 1 or if c > 2 the game has a unique equilibrium; if c = 1 or if c = 2 the game has two equilibria; if 1 < c < 2 the game has three equilibria.

Bob

E§ort

Alice

No e§ort

E§ort

2 一 c; 2 一 c

0; 1 一 c

No e§ort

1 一 c; 0

0; 0

2. Two players, Xerxes and Yolanda, play the following variant of the hawkñdove stage game twice in succession.  Both players observe the outcome of the Örst stage before they play the second stage.  In each cell of the matrix, Xerxesís payo§ is listed Örst. For the game as a whole, Xerxesís payo§ is the sum of his payo§s in each of the two stages; similarly for Yolanda.

Yolanda

D              H

D

Xerxes

H

4 4

5; 0

0; 5

一1 一1

(a) What is the deÖnition of a pure strategy for Xerxes in the game as a whole.       (30 marks)

(b) Does there exist a pure strategy subgame perfect Nash equilibrium in which

(D;D) is played in the Örst stage? Explain.                                          (35 marks)

(c) The stage game has a mixed strategy Nash equilibrium in which Yolanda plays her two pure strategies with equal probability, as does Xerxes.   In this mixed equilibrium of the stage game both playersíexpected utility is 2. For the game as a whole, does there exist a subgame perfect Nash equilibrium (possibly mixed) in which (D;D) is played in the Örst stage? Explain.                               (35 marks)

3. Two countries, i = 1; 2, compete to host a sporting event. In principle, the successful country is selected on the basis of objective criteria.   In practice,  the selection is random and the countries a§ect the outcome by lobbying. Let `i  > 0 be the amount of lobbying done by country i. The probability that country 1 is selected to host the event is `l =(`l + `2 ). The probability that country 2 is selected is `2 =(`l + `2 ). The value of being selected is normalized to unity for both countries, and their costs are ci`i  where ci  > 0 is a parameter. Thus, country iís payo§function is `i =(`l +`2 ) 一ci`i . Country 1 ís cost parameter is known by all to be cl  = 1. By contrast, c2  is a random draw from a two-state distribution: c2  = c with probability p and c2  = with probability 1 一p where 0 < c <  and 0 < p < 1. Country 2 knows which value of c2 was drawn; country 1 only knows the probability distribution. The structure of the game is common knowledge. Solve for all pure strategy Bayesian Nash equilibria.

4. A signaling game is illustrated below in which nature selects type tl  or t2  with prob- abilities as indicated.  The sender observes natureís selection and sends the signal L or R.  The receiver observes the signal, but does not observe natureís selection, and chooses u or d.  At each terminal node, the senderís payo§ is shown Örst.  Provide a complete description of all pure strategy perfect Bayesian equilibria of this game.