1    Data Generation Procedure

Throughout the project, we fix the risk-free rate r to be 0.002.

We first simulate the data that we need in order to apply the strategies.  In the market, there is one risk-free asset with risk-free rate r and N risky assets.  In particular, we adopt the K-factor model on

the excess return Rt  at time t of N − K risky assets:

Rt = α + BRfactor,t + ϵt ,                                                            (1)

where we denote  α  ∈ RN−K   as the mispricing vector,  B  ∈ R(N−K)×K   as the factor value matrix, Rfactor,t  ∈ RK  as the factor coefficient vector at time t, and ϵt  ∈ RN−K  as the idiosyncratic noise at time

t.  Please note that in this factor model, K factors stand for K different assets.  And the returns of the rest N − K risky assets are linear combination of these K factors plus some noise.

For the sake of simplicity, we let K = 1 and the factor be the excess return of one of the risky assets. Based on this model, follow the following two procedures generate synthetic data.

•  (Light tailed distribution) Suppose α = 0, Rfactor,t  ∼ N(0.007, 0.002), ϵt  ∼ N(0, Σϵ).  We further assume Σϵ  is diagonal, and each diagonal element Σϵii ∼ U[0.010,0.030] . Apply this 1-factor model to generate the excess return of N = 10 risky assets for T = 24000 time steps.

1.  Simulate the loading vector B for all N − 1 risky assets. For each i, Bi ∼ U[0.50,1.50] .

2.  Simulate the noise covariance matrix Σϵ for all N − 1 risky assets. For each i, Σϵii  ∼ U[0.010,0.030] .

3.  For t = 1 to T :

Simulate Rfactor,t ∼ N(0.007, 0.002), ϵˆt ∼ N(0, Σϵ). Then Rt = α + BRfactor,t + ϵˆt .

•  (Heavy tailed distribution) Again suppose α = 0, but Rfactor,t ∼ √0.002 · tdf=5+0.007, where tdf=5 denotes a T-distribution with degrees of freedom 5.  Then we achieve a heavy tail distribution for the factor risky asset.  In order to achieve a heavy tail for the excess return of other risky assets, we need to change the distribution of ϵt  as well.  Consider ϵt  follows a multivariate T distribution with degree of freedom ν:

ϵt ∼ µ +  Z,

where Z ∼ N(0, Σ), U ∼ χν(2), Σ is the covariance matrix and ν is the degree of freedom.  Then ϵt follows a tdf=5(µ, Σ) multivariate distribution.  To create a similar setting to the light tailed case above, we let µ = 0, ν = 5 and Σ = Σϵ  (which is already generated above).

Adopt following procedure to simulate the heavy-tailed noise and apply to the 1-factor model to generate the excess return of N = 10 assets for T = 24000 time steps.

1. Use the loading vector B sampled in the light tailed distribution case.

2. Use the noise ϵˆt  sampled in the light tailed distribution case in Sec. 1.

3. For t = 1 to T:

Simulate rt ∼ tdf=5 . Then Rt(factor) = √0.002 × rt + 0.007.

4.  For t = 1 to T :

Simulate Ut ∼ χν(2) . Heavy tail noise ϵt(′) =  ϵˆt  and Rt(′) = α + BRt(factor) + ϵt(′) .

Pick one among the N − 1 risky assets, and the factor risky asset to plot out the histogram of their excess

generated by the factor model, and 1 factor risky asset) when applying the asset allocation method.

2    Methods Implemented

In this project, we will implement and compare 12 asset allocation methods:

Benchmark

1.  1/N with rebalancing (ew)

2.  Market Portfolio/Factor Portfolio (mkt)

Classical approach that ignores estimation error

3.  Sample-based mean-variance (mv)

4.  Sample-based unbiased mean-variance  (as in Kan and Zhou, 2007, see Lecture 5, page 25) (u-mv)

Bayesian approach to estimation error

5.  Bayes-Stein (shrink to minimum variance portfolio, as in Jorion, 1986, see Lecture 5, page 50) (bs)

Moment restrictions

6.  Minimum-variance with sample based mean-variance (min)

Portfolio constraints

7.  Sample-based mean-variance with no-shortsale constraints (mv-c)

8.  Bayes-Stein with no-shortsale constraints (bs-c)

9.  Minimum-variance with no-shortsale constraints (min-c)

Robust portfolios

10. Uncertainty in mean with box uncertainty set (as in Garlappi et al., 2007, see Lecture 6, page 14-17) (r-m-1)

11. Uncertainty in mean with ellipsoid uncertainty set (as in Garlappi et al., 2007, see Lecture 6, page 14-17) (r-m-2)

12.  Distributional robust (as in Blanchet et al., 2020, see Lecture 6, page 28-36) (dr-mv)

We  allow the  user to  input  one tuning-parameter to  specify the  uncertainty  set,  even though Blanchet et al.  (2020) suggest how to choose such parameter endogenously.

2.1    Performance Comparison of Strategies with Estimation

Implement all the strategies and test each of them on the simulated data generated in Sec. 1. Since these methods require the information of expected excess return vector and covariance matrix but we do not have access to them in reality, we need to leverage the rolling window technique to obtain an estimation.

Estimation using rolling window technique:  Suppose the window length is M, then at each time

step t, we use the excess returns of all N risky assets in steps t − M , t − M + 1, ..., t − 1 to generate

Metrics: We are interested in three metrics:

• Out-of-sample Sharpe ratio (OSR):

OSR =

OSR      ,

where OSR  denotes the sample average of the out-of-sample return µt  achieved by the portfolio over all time steps from t = M + 1 to T, and OSR  denotes the corresponding sample standard deviation. Specifically, out-of-sample µt  is measured in the following way: when we apply different strategies using estimation with rolling window technique at step t, we use the excess returns of all

N risky assets in steps t − M to t − 1 to estimate and solve for the optimal weight w(t) . Then we

µt =

X

w × return of asset i at time t

asset i in all assets

• In-sample Sharpe ratio (ISR):

ISR − r

where ISR  denotes the sample average of the return in-sample µt  achieved by the portfolio over all time steps from t = M to T, and ISR  denotes the corresponding sample standard deviation. Specifically, in-sample µt is measured in the following way: when we apply different strategies using estimation with rolling window technique at step t, we use the excess returns of all N risky assets

in steps t − M − 1 to t to estimate and solve for the optimal weight w(t) .  Then we calculate the

µt =                    w × return of asset i at time t

asset i in all assets

•  Turnover:

Turnover =  M+1        |wt+1)  − t+1)|

T − M                        ,

where (t) , w(t)  denotes the weight vector before and after rebalancing at time t respectively.

Here is an example:  for the 1/N strategy, suppose there are only two assets, and the asset prices are $1 and $1 at time t = 1. The 1/N strategy will place w  = 0.5 and w = 0.5 of our wealth on them. At the next time step t = 2, the prices of the two assets become $2 and $0.5. Then, the our

strategy at time t = 2 before rebalancing will have  =  = 0.8 while  =  = 0.2. To maintain our 1/N strategy at time t = 2, we need to rebalance the weight to w  = 0.5 and w = 0.5. Then the turnover at time t = 2 is:

| − w | + | − w| = |0.8 − 0.5| + |0.2 − 0.5| = 0.6                           (2)

Let’s set M = 120 in this part (also in Sec.  2.2).  Report the out-of-sample Sharpe ratios, in-sample Sharpe ratios, and turnover for all methods.

2.2    Performance of Optimal Mean-variance

We still use the simulated data generated in Sec. 1. Since we know the true mean vector and covariance matrix in our simulation study, apply them to the mean variance problem, and compare with the methods 1-12 in terms of the metrics mentioned in Sec. 2.1.

Recall that in theory, any mean-variance efficient allocation achieves the same and the highest Sharpe ratio.

3    Tuning-parameter Ablation Study

3.1    The Effect of Window Length

To study the effect of choosing different window length on the performance of the strategies, we fix N = 10 and change M to 500, 1000, 6000 and report the same metrics in Sec. 2.1. For each case, regenerate the synthetic data for both light tailed distribution and heavy tailed distribution in Sec.  1 by following the instruction.  Observe how the performances (in terms of the three metrics) change as M increases and compare the performance of all methods for each M .

3.2    The Effect of Asset Number

Similarly, to study how the number of asset would affect the performance of the strategies, for each N in {25, 50, 100}, try M = 120 and report the same metrics in Sec.  2.1.  For each case, regenerate the

synthetic data for both light tailed distribution and heavy tailed distribution in Sec.  1 by following the instruction.  Observe how the performances (in terms of the three metrics) change as N increases and compare the performance of all methods for each N .

3.3    The Effect of α

In addition, we want to study how α in equation  (1) would affect the performance of the strategies. Suppose αi  ∼ U[−0.01,0.01]  for each risky asset i, we regenerate the synthetic data for the light tailed distribution in  Sec.   1 by following the instruction.   Again,  report the metrics and compare all the strategies.

4    Study on Intertemporal Correlation

In this part, we focus on studying the performance in another setting where the excess return of risky assets Rt  have intertemporal correlations along time. That is

Cov(Rt,Rt′ )  0,   t,t′ ∈ {1, 2, ...T}

To realize this, consider an autoregressive model of order p (AR(p)).

p

Xt = c +X φiXt−i + ηt

i=1

where φi’s are the parameters, c is constant, and ηt  follows a standard white noise process.  In order to make the covariance nonzero, we can consider replacing the factor risky asset (Rfactor,t) in the factor model (equation (1) in Sec. 1) with an AR(1) process.That is,

(3)

Then we will have

Cov(Rt,Rt−1)  0,   t − 1 ∈ {1, 2, ...T − 1}

Follow simulation procedure below to the 1-factor model and generate the excess return of N = 10 assets for T = 24000 time steps.

(Intertemporal correlated process) Suppose α = 0, Rfactor,t  ∼ AR(1), ϵt  ∼ N(0, Σϵ), ηt  ∼ N(0, 0.032) in equation (2).  Apply this 1-factor model to generate the excess return of N = 10 assets for T = 24000 time steps.

1. Use the loading vector B sampled in the light tailed distribution case in Sec. 1.

2. Use the noise ϵˆt  sampled in the light tailed distribution case in Sec. 1.

3. For t = 2 to T: simulate ηt ∼ N(0, 0.032).

4.  Rfactor,1 = 0.008. For t = 2 to T: Rfactor,t = 0.010 − 0.112 · Rfactor,t−1 + ηt .

5. For t = 1 to T: Rt = α + BRfactor,t + ϵˆt .

Redo the task in Sec. 2.1.