1.  (i) Find integers h, k such that 37h + 17k = 1. What is 17_1  in ❩3(*)7 ?

(ii) Find 17358  in ❩37 .

(iii) Solve x13  = 5 in ❩37 .

(iv) Factorise 3145 into primes in ❩ and then into primes in ❩[i], ex- plaining why they are primes. Hence find four ways of expressing 3145 in the form a2  + b2  where a, b e ◆ with a 2 b.  Explain briefly why there are no other ways.

╱ 1/5

2.  (a) Let A = 『 2/5

．2/5

2/5

1/5

2/5

2/5 、

2/5 │

(i) Find an invertible matrix P and a diagonal matrix D such that P_1 AP = D .

(ii) Find an explicit formula for A么 (n e ◆).

╱ 1 、

(iii)  Let ↓么 e ❘3   be  defined  by ↓么+1    =  A↓么 , ↓0    = 『．3(2)││.   Find

lim么_oo ↓么 .

(b) (i) Let B e M么 (❘) and assume the characteristic polynomial cB (t) factorises as Π/(﹔)=1 (t - λ/ )）乞 , where the λ/ are distinct. Let e/  = dim(E入乞), where E入乞 is the eigenspace associated to λ/ . What is the condition for B to be diagonalisable?

╱ 1    a    0 、

(ii) Let B = 『．0    b    c ││, where a, b, c, d e ❘. Find for which values of

a, b, c and d the matrix B is diagonalisable, explaining your reasoning.

Find an expression for det A as a product of linear factors, explaining your answer.

(iii) Let B be the matrix

╱ 4                   a + b + c + d      a2 + b2 + c2 + d2      a3 + b3 + c3 + d3 、

『 │

．a3 + b3 + c3 + d3      a4 + b4 + c4 + d4      a5 + b5 + c5 + d5      a6 + b6 + c6 + d6 │ By considering AA#  or otherwise, find det B .

(iv) Let C么 be the n × n matrix with entries c/λ = Σ么μ=1 k/+λ _2 .  What is det C5 ? (You may leave your answer in terms of factorials.)

4.  (a) Determine if each of the following sets G under operation 大 forms a group, justifying your answer:

(i) G = { ╱ 0(a)   c(b) 、 : a, b, c e ❘ and |ac| = 1}, 大 is matrix multiplication; (ii) G = {f : ❘ -→ ❘}, where (f 大 g)(x) = f(x) + g(x) for all x e ❘;  (iii) G = {x e ❘ : x 2 0}, a 大 b = |b - a|.

(b) Let G be the group with presentation

〈x, y, z : x3  = y2  = z2  = e, yx = xz, zx = xyz, yz = zy〉

and normal form {x/yλ z μ : 0 < i < 2, 0 < j < 1, 0 < k < 1}.

(i) Find the order of each element of G.

(ii) The non-trivial groups of order < 6 are C2 , C3 , C4 , C2 × C2 , C5 , C6 , S3 . For each of these groups, how many subgroups of G are there isomorphic to it?