Hello, dear friend, you can consult us at any time if you have any questions, add WeChat: daixieit

MATH0006 Algebra 2 exam may 2021   1.  (i) Find integers h, k such that 37h + 17k = 1. What is 17_1  in ❩3(*)7 ? (ii) Find 17358  in 37 .

(iii) Solve x13  = 5 in ❩37 .

(iv) Factorise 3145 into primes in ❩ and then into primes in ❩[i], ex- plaining why they are primes. Hence ﬁnd four ways of expressing 3145 in the form a2  + b2  where a, b e ◆ with a 2 b.  Explain brieﬂy why there are no other ways.

1/5

2.  (a) Let A = 2/5

2/5

2/5

1/5

2/5

2/5 2/5

(i) Find an invertible matrix P and a diagonal matrix D such that P_1 AP = D .

(ii) Find an explicit formula for A (n e ◆).

1

(iii)  Let e 3   be  dened  by +1    =  A , 0    = 3(2).   Find

lim_oo ↓ .

(b) (i) Let B e M (❘) and assume the characteristic polynomial cB (t) factorises as Π/(﹔)=1 (t - λ/ ) , where the λ/ are distinct. Let e/  = dim(E), where E is the eigenspace associated to λ/ . What is the condition for B to be diagonalisable?

1    a    0 (ii) Let B = 0    b    c , where a, b, c, d e . Find for which values of

a, b, c and d the matrix B is diagonalisable, explaining your reasoning.

 ╱ 1 3. (i) Find det -21 ． 2 ╱ 1 (ii) Let A = a2(a) ．a3 2 0 1 3 1 b b2 b3 1 0 、 │ , showing the steps in your calculation. 5 4 │ 1 1 、 c2 d2 │(│) c3 d3 │

Find an expression for det A as a product of linear factors, explaining your answer.

(iii) Let B be the matrix 4                   a + b + c + d      a2 + b2 + c2 + d2      a3 + b3 + c3 + d3

a3 + b3 + c3 + d3      a4 + b4 + c4 + d4      a5 + b5 + c5 + d5      a6 + b6 + c6 + d6 By considering AA#  or otherwise, ﬁnd det B .

(iv) Let C be the n × n matrix with entries c/λ = Σμ=1 k/+λ _2 .  What is det C5 ? (You may leave your answer in terms of factorials.)

4.  (a) Determine if each of the following sets G under operation 大 forms a group, justifying your answer:

(i) G = { 0(a)   c(b) : a, b, c e and |ac| = 1}, is matrix multiplication; (ii) G = {f : ❘ -→ ❘}, where (f 大 g)(x) = f(x) + g(x) for all x e ❘;  (iii) G = {x e ❘ : x 2 0}, a 大 b = |b - a|.

(b) Let G be the group with presentation

〈x, y, z : x3  = y2  = z2  = e, yx = xz, zx = xyz, yz = zy〉

and normal form {x/yλ z μ : 0 < i < 2, 0 < j < 1, 0 < k < 1}.

(i) Find the order of each element of G.

(ii) The non-trivial groups of order < 6 are C2 , C3 , C4 , C2 × C2 , C5 , C6 , S3 . For each of these groups, how many subgroups of G are there isomorphic to it?