Hello, dear friend, you can consult us at any time if you have any questions, add WeChat: daixieit

MATH0006 Algebra 2

Section A

1.

(a)  (i) Find integers h, k such that 29h + 11k = 1. What is 1¯1- 1  in Z2(*)9 ?

2798

(iii) Solve x25  = 2 in Z29 .

(b)  Let S = Z[−2] = {a + b−2 : a, b ∈ Z}. What does it mean to say that S has unique factorisation? Factorise 401 into primes in Z and also into S-primes. Hence find all expressions of 411 in the form a2 + 2b2  where a, b are positive integers with a ≤ b, justifying your answer.  [You may assume unique factorisation in S.]

(25 marks)

 

2.

1(1) (a)  Find det .(.) 2

2

3

5

1

   , showing the steps in your calculation.

2     1

(b)  Let A =   

D such that P- 1 AP = D .

(25 marks)

 

Section B

3.

(a)  (i) Let A, B and C be n × n matrices. Show that det C(A)

B(0) = det A det B .

(ii) Show that det A2AC(+)C2

(b)  (i) Let C be the matrix  z(x)

y

product of linear factors.

A(C)2(A) = (det A)4 .

   .(、) . Use row operations to express det C as a


(ii) Let A =  .(╱)      .(、) . Use part (i) to nd the eigenvalues of A. Deduce that

if b  c then A is diagonalisable. Is A diagonalisable if b = c?

[You will need to use ω = e2/;3  in  (b).  Recall that ω 3  = 1 and 1 + ω + ω 2  = 0]

(25 marks)

 

4.

(a)  For each of the following sets G and operations + determine, with justification, whether or not (1) + is a closed binary operation (2) + is associative, (3) there is

an identity element, (4) all elements have an inverse, (5) G under + is a group (i)  G = M2 (R), the set of 2 × 2 matrices with real entries, A+B = A + B + I2 ; (ii)  G = R, a+b = a + b + a5 b5 .

(b)  Let G be a group: we define the centre Z(G) of G to be the set {g ∈ G : gh = hg for all h ∈ G}. For g, h ∈ G, we define the commutator [g, h] as g- 1 h- 1gh.

(i) Show that Z(G) is a subgroup of G.

(ii) Suppose g, h  ∈ G and  [g, h]  ∈ Z(G).   Show that for positive integers n, [g, h] = [g, h]  = [g, h]

(iii) Suppose g, h ∈ G and [g, h] ∈ Z(G).  Show that if g and h have coprime orders, then gh = hg

(25 marks)