Review Problem Solutions

The following are“representative”problems selected from the seminars.

1. A true-false question is to be posed to a husband-and-wife team on a quiz show.  Both the husband and the wife will independently give the correct answer with probability p.  Which of the following is a better strategy for the couple?

(a)  Choose one of them and let that person answer the question.

(b) Have them both consider the question, and then either give the common answer if they

agree or, if they disagree, flip a coin and determine which answer to give. Solution.  Let us compute the probability for each strategy.

Strategy 1.   If one of the husband or wife is chosen randomly, then the probability that the chosen person will answer the question correctly is p, since both have the same probability p of answering correctly.

Strategy 2.   Let W denote the event of winning, F denote the event that the wife has the correct answer, and M the event that the husband has the correct answer.  Using the Law of Total Probability, we can write:

P(W) = P(W|F, M)P(F, M)

+ P(W|Fc , Mc)P(Fc , Mc)

+ P(W|Fc , M)P(Fc , M)

+ P(W|F, Mc)P(F, Mc).

Let us compute each of the above terms:

• P(W|F, M) is the probability of winning given that both the wife and husband have the right answer.  This must mean that they agreed in the first round, and their common answer (the right one) was selected. Thus, P(W|F, M) = 1;

• P(W|Fc , Mc ) is the probability of winning given that both the wife and husband have the incorrect answer, which is equal to 0;

• P(W|Fc , M) is the probability of winning given that the wife has the incorrect answer, while the husband has the correct answer. Since they disagreed in the first round, the probability of winning in the second round is the probability that the husband is selected, which is 1/2;

• P(W|F, Mc ) is the probability of winning given that the wife has the correct answer, while the husband has the incorrect answer. Reasoning as above, but reversing the roles of the wife and husband, we obtain that P(W|F, Mc ) = 1/2;

• P(F, M) is the probability that both the husband and wife have the correct answer, which is equal to p2 ;

• P(Fc , Mc ) is the probability that both the husband and wife have the incorrect answer, which is equal to (1 − p)2 ;

• P(F, Mc ) is the probability that the wife is correct, while the husband is incorrect answer, which is equal to p(1 − p);

• P(Fc , M) is the probability that the wife is incorrect, while the husband is correct answer, which is equal to p(1 − p).

Plugging in the values above, we obtain that

P(W) = p2 + 1/2 × p(1 − p) + 1/2 × p(1 − p) = p.

Thus, both strategies 1 and 2 lead to the same probability of winning, p.

2. A point is chosen at random on a line segment of length L, i.e., letting X denote the position of the point on the segment [0, L], we have that X is uniform over [0, L]. Find the probability

that the ratio of the shorter to the longer segment is less than 1/4.

Solution.

P !min ! ; " ≤ "   =   1 − P !min ! ; " > "   =   1 − P !  >  ,  > "        =   1 − P !X > (L − X), L − X > X" =   1 − P ! L < X < L"

=   1 − 3 = 2

3. If X1 , X2 , X3 , X4 , X5  are independent and identically distributed exponential random vari- ables with parameter λ , and a ≥ 0, compute:

(a) P(min{X1 , · · · , X5} ≤ a);

(b) P(max{X1 , · · · , X5} ≤ a).

Solution.

(a)

P(min{X1 , · · · , X5} ≤ a) = 1 − P(min{X1 , · · · , X5} ≥ a),

= 1 − P(X1  ≥ a, X2  ≥ a, · · · , X5  ≥ a) = 1 − Πi(5)=1P(Xi  ≥ a)

= 1 − Πi(5)=1 e −λa

= 1 − e −5λa .

We go from the first to the second equation by noting that if the minimum of random variables is larger than a, then they must all be larger than a.  We go from the second to the third equations by independence of the random variables. Finally, we go from the third to the fourth equation by noting that the cdf of an exponential random variable with rate λ is given by

P(Xi  ≥ a) = #a ∞ λe  λx− dx = e −λa ,

where fX (x) = λe−λx , for x ≥ 0, is the pdf of an exponential random variable with rate λ .

(b)

P(max{X1 , · · · , X5} ≤ a) = P(X1  ≤ a, X2  ≤ a, · · · , X5  ≤ a),

= Πi(5)=1P(Xi  ≤ a)

= (1 − e−λa )5 .

We obtain the first equation by noting that if the maximum of random variables is smaller than a, then all these variables must be smaller than a.

4.  Suppose that two students, A and B , each randomly and independently choose 3 out of 10 objects. Find the expected number of objects

(a)  chosen by both A and B;

(b) not chosen by either A or B;

(c)  chosen by exactly one of A and B .

Solution.    Let i  =  1, · · · , 10 index the different objects and define the following random variables: Let Xi equal 1 if both A and B choose item i and let it be 0 otherwise; let Yi equal 1 if neither A nor B choose item i and let it be 0 otherwise.  Also, let Wi  equal 1 if exactly one of A and B choose item i, and let it be 0 otherwise. Then,

10                             10                             10

X = $ Xi;    Y = $ Yi;    W = $ Wi ,

i=1                          i=1                          i=1

where X is the total number of objects chosen by both A and B , Y is the total number of objects not chosen by either A nor B , and W is the total number of objects selected by exactly one of A or B . The answers to the different parts are given by:

(a) E[X] = E %& Xi' = & E[Xi] = 10 ×  = 0.9, since E[Xi] = P(Xi  = 1) is the

probability that a given object is selected by both A and B .  Since the two students choose the objects independently and with equal probability, P(Xi = 1) is the product:

P(Xi = 1) = P(A selects object i)P(B selects object i) =   =  .

To derive P(A selects object i), note that

(2(9))       3 

( 3(10))      10 ,

where the denominator is the number of ways of selecting 3 objects out of 10 (number of possible outcomes of the experiment), and the numerator is the number of ways of selecting 2 objects out of the remaining 9 objects, assuming that the third choice must be for i. The same derivation applies for P(B selects object i).

(b) E[Y] = E %& Yi' = 10 × ( )2 = 4.9. This is so because

E[Yi] = P(Yi = 1) = P(A does not select i)P(B does not select i) =  7   7  .

To see how to derive P(A does not select i), note that:

P(A does not select i) =         =

where the numerator is the number of ways in which 3 objects can be selected out of 9 (i.e., excluding object i), and the denominator is the total number of ways in which 3 objects can be selected out of 10 (total number of outcomes of the experiment). The same calculation applies for P(B does not select i).

(c) E[W] = E %& Wi' = 10 × 2 ×   = 4.2. This is so because

E[Wi] = P(Wi = 1)

= P(A does not select i)P(B selects i) + P(A selects i)P(B does not select i)

3   7       7  3

=           +          

3   7

= 2 ×    

5. Let X and Y be continuous random variables with density function

fX,Y (x, y) = *

(a) What is the value of c?

(b) Are X and Y independent?

(c) Find P(X + Y > 5)?

Solution.

(a) We note that

#1 5 #0 1 fX,Y (x, y)dxdy = 1.

Therefore,

1 = #1 5 #0 1 fX,Y (x, y)dxdy = #1 5  !  + cyx" +0(1)dy = #1 5   + y dy2            =  + 12c.

Solving for c, we obtain that c = 1/20.

(b) We can compute the marginal pdfs of X and Y as follows. For 0 < x < 1:

fX (x) = #1 5   + dy

= !  + " +1(5)

4x      3

5      5 .