Hello, dear friend, you can consult us at any time if you have any questions, add WeChat: daixieit

HOMEWORK 4

MATH 5112 ALGEBRA 2

(1) Suppose that q is a prime power, and Fq  is the field with q elements. (a) How many linear maps are there from Fq(m)  to Fq(n)?

(b)  If m n, how many injective linear maps are there from Fq(m)  to Fq(n)?

(c)  If m ≥ n, how many surjective linear maps are there from Fq(m)  to Fq(n)?

(d) If r min{m,n}, how many linear maps are there from Fq(m)  to Fq(n)  that have rank r?

(2) Suppose that F is a field, V and W are F-vector spaces of dimension m and n respectively. (a) Show that there is a unique F-linear map

Φ : S2(V ⌦ W) !  S2(V) ⌦ S2(W) ⊕ V2 (V) ⌦V2 (W)

with the property that

Φ  (v1 ⌦ w1 )(v2 ⌦ w2 )  = ((v1v2 ) ⌦ (w1w2 ), (v1 ^ v2 ) ⌦ (w1 ^ w2 )).   (b) If the characteristic of F is not 2, show that Φ is a linear isomorphism.

(3) Suppose F is a field and V,W are F-vector spaces.  If f  2 V?  = HomF(V,F) and g  2 W?  then there exists a unique F-linear map φ(f,g)  :  V ⌦ W  ! F with the property φ(f,g)(v ⌦ w) = f(v)g(w) for all v 2 V and w 2 W .

(a) Show that there is a unique F-linear map

Φ : V? ⌦ W? ! (V ⌦ W)?

with the property Φ(f ⌦ g) = φ(f,g) for all f 2 V? , g 2 W? .

(b) Show that Φ is injective.

(c) Give an example, where V and W are infinite dimensional and Φ is not surjective.

(4) For each of the Z- modules below, give the Invariant Factor Form, and the Elementary divisor form.

(a) Z/(8) ⊕ Z/(9) ⊕ Z/(10) ⊕ Z/(12);

(b) The cokernel of the Z-module homomorphism φ : Z3 ! Z3  given by

φ 0  1b(a)      0 1 0  1b(a)

c            4    9   16       c

(5) The characteristic polynomial of a complex 5 ⇥ 5 matrix A is (x − 1)3 (x + 1)2 .  What are the possible rational canonical forms of A?  For each of these cases, also give the Jordan canonical form and the minimum polynomial of A.

(6) Let V be the 5-dimensional vector space of complex polynomials in z of degree 4. Define φ : V ! V by φ(p(z)) = p00 (z)+ x2p(0), where p00 (z) is the second derivative of p(z).           (a) Give the matrix A of φ with respect to the basis {1,z,z  ,z  ,z  }234 of V .

(b) What is the rational canonical form of A?

(c) What is the Jordan canonical form of A?