Hello, dear friend, you can consult us at any time if you have any questions, add WeChat: daixieit

Math 180C PRACTICE MIDTERM 1

1.  (25 points) Let (Xt )t>0  be a continuous time Markov chain on the state space {0, 1, 2} with transition probability functions

0

1

2

 

P (t) =

0

1

2

e-3t

1 2

-

e-3t +

 e-4t

1 2

-

 e-4t

0

1 2

+

 e-4t

 

1 2

-

 e-4t

0

1 2

-

 e-4t

 

1 2

+

 e-4t

 

(1)

(a)  (7 points)  Compute the generator Q of (Xt )t>0.  [Hint. Recall that P/ (0) = Q.] (b)  (6 points)  Give the jump-and-hold description of (Xt )t>0 .

(c)  (6 points) Draw the rate diagram of (Xt )t>0 .

(d)  (6 points) Assuming that X0   is uniformly distributed on  {0, 1, 2},  compute the probability that X1  = 2.

2.  (25 points) Let  (Xt )t>0  be a birth and death process on {0, 1, 2, 3} described by the following rate diagram

3

2

1

2

1

Compute the mean time to absorption starting from state 1 (i.e., given X0  = 1).

3.  (25 points) Let (Xt )t>0  be a continuous time Markov chain on the state space {0, 1, 2} with generator

0      1      2

 -2     2      0 

Q =   1  3     -6     3  .                                               (2)

 0      1     -1 

(a)  (10 points) Draw the diagram for the jump chain of (Xt )t>0 and explain why (Xt )t>0

is irreducible.

(b)  (10 points)  Compute the stationary distribution for (Xt )t>0 .

(c)  (5 points) What is the expected average fraction of time that (Xt )t>0  will spend in states 1 and 2 in the long run?

4.  (25 points)  Certain printing facility has two printers operating on a 24/7 basis and one repairman that takes care of the printers.   The amount of time  (in hours) that a printer works before breaking down has exponential distribution with mean 2.  If a printer is broken, the repairman needs exponentially distributed amount of time with mean 1 (hour) to repair the broken printer.  The repairman cannot repair two printers

simultaneously. Each printer can produce 100 pages per minute.

Let Xt  denote the number of printers in operating state at time t.

(a)  (10 points) Assuming without proof that (Xt )t>0  is a Markov process, determine

the generator of (Xt )t>0  (you can provide rigorous computations for only one entry of matrix Q.)

[Hint. If T ~ Exp(γ), then P (T < h) = γh + o(h) as h → 0.]

(b)  (10 points)  Compute the stationary distribution for (Xt )t>0 .

(c)  (5 points) In the long run, how many pages does the facility produce on average per minute?