Solutions

Health Warning: These solutions are incomplete. Many intermediate steps are omitted and required explanations are not given. The sole purpose of these solutions is to enable you to check your answers when you attempt the exam yourself.  If there had been any student in the exam who had handed in the work reproduced below without further cal- culations or explanations, it would probably have resulted in an investigation as to where the student got the solutions from before the exam.

Section A

A1   (a)

( 0

ì

  1/4

FX(x) = (  1/2

  3/4

ì

）  1

if x < 0

if 0 女 x < 1

if 1 女 x < 2

if 2 女 x < 3

if 3 女 x

The  sketch  should  show  a  staircase  increasing  in  roughly  equi-spaced  steps  of roughly equal height with right-continuity clearly indicated

y                 0        1        2     

P (Y = y)   1/4    1/2    1/4

p = 1/2 and hence has expected value 1 and variance 1/2

A2   (a) 匝[Y |X] = . . . = 2X

(b) 匝[Y] = . . . = 2/p.

(c) Var(Y |X) = . . . = X2 .

(d) Var(Y) = 匝[Var(Y |X)] + Var(匝[Y |X]) = . . . =  |  .

A3   (a)  GX (z) = 匝[zX ] = . . . =  .

(b) 匝[X] = . . . =  .

A4   (a)  P (W = 0) = . . . = 2p2 | 2p + 1

P (W = 1) = . . . = 2p(1 | p)

W can take values 1 and 0.

(b)  P (Xi = 1|W = 1) = . . . = 

P (Xi = 0|W = 1) = . . . =  .

(c)  Y follows a geometric distribution with parameter 2p(1 | p).

Section B

B1   (a)

. . .

n

l(θ) =L ╱ | log θ | θ _ixi(2)、+ const

i=i

l(θ) = |nθ _i + θ _2 L(n)xi(2)  0

n

i=i

dθ 2 l(θ) = nθ _2 | 2θ _3 L xi(2)

l() = . . . < 0

lim l(θ) = |&

θ 3o

lim l(θ) = |& θ 3〇

(b) Let            i .

because...1/θ.

fY (y) = . . . = θ _i e_y/θ

on (0, &)

and this is an exponential distribution with parameter 1/θ .

Since ..., the sum L Xi(2)  follows Gam(n, θ _i ) by ...

Hence,  L xi(2)  follows a Gam(n, nθ _i ) by...

(c) 匝[] = . . . = θ

Var() = . . . =  .

(d)

I(θ) = . . . = nθ _2

≥ Var() ≥ 

So, the MLE attains the CRLB.

A hypothetical unbiased estimator which attains the CRLB has ...  The MLE has mse ... and thus, the MLE achieves the same mse.

(e)

 ap◇(pr)ox N ╱θ, I_i (θ)、

Starting from this, we obtain the confidence interval

┌ | 1.96  , + 1.96 ┐

As it stands, this is useless as it requires knowledge of θ . As discussed in lectures, ...

┌   ╱ 1 | 、 ,  ╱ 1 + 、┐

(f)

/aθ(o) f(x)dx = . . . = ┌ |(z + 1)e_z ┐2a(o)

...

P ╱┌   ╱ 1 | 、 ,  ╱ 1 + 、┐  女 θ 、= . . . 冬 P ╱0.4191θ 女 、

Inserting this in the above formula, a pocket calculator is needed. The result is P 冬 0.795.

Thus, ...

B2   (a) bookwork